(f\ast g)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\dd t.
\end{equation}
On constate que le membre de gauche de l'équation ci-dessus n'est rien d'autrequ'une fonction de $t$.
Pour chaque valeur de $t=t_0$, on calcule l'intégrale,
On constate que le membre de gauche de l'équation ci-dessus n'est rien d'autrequ'une fonction de $x$.
Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale,
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty f(\tau)f(t_0-\tau)\dd \tau.
\int_{-\infty}^\infty f(x_0-t)g(t)\dd t.
\end{equation}
On peut interprêter la convolution comme la moyenne de $f(\tau)$ pondérée par la fonction $g(-\tau)$.
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### La convolution discrète
Exercice (Commutativité) +.#
Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit
\begin{equation}
(f\ast g)(x)=(g\ast f)(x).
\end{equation}
Indication: utiliser la substitution $\tau=x-t$.
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Afin de pouvoir interpêter un peu
ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul
"simple" pour se faire une idée.
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Exercice +.#
Calculer la convolution du signal $f(t)$
\begin{equation}
f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
1,&\mbox{ si }t\in[0,1]\\
0,&\mbox{ sinon.}
\end{array}\right.
\end{equation}
Indication: faites un dessin de ce que représente la convolution de ce $f$ avec lui-même.
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#### Interprétation avec les mains
Afin d'interpréter ce que représente le produit de convolution, introduisons la fonction delta de Dirac, $\delta_a(x)$. Cette fonction est un peu particulière, elle vaut zéro partout sauf en $0$ (où elle est "infinie"), et son
intégrale vaut $1$
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\dd x=1.
\end{equation}
Même si cela peut sembler étrange, on peut tenter de construire une telle fonction en prenant une suite de rectangles, centrés en $0$,
dont la surface vaut 1. Puis on rend ces rectangles de plus en plus fins, en imposant que la surface vaut toujours 1 et le tour est joué.
Cette fonction est intéressante, car elle a la propriété suivante lorsqu'on l'utilise pour effectuer des convolutions.
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty f(y)\delta(y-x)\dd y=f(x).
\end{equation}
En d'autre termes cette intégrale est égale à la valeur de $f$ au point où l'argument du $\delta$ est nul.
A présent, si nous considérons la convolution de $f(t)$ avec
La convolution est donc la moyenne pondérée de $f$ translatée en $a$ et en $b$ par $\alpha$ et $\beta$ respectivement.
On voit que de façon générale, qu'on peut interpréter la convolution de deux fonctions $f(t)$ et $g(t)$ comme la moyenne de $f(t)$ pondérée par la fonction $g(t)$.
#### Le lien avec les filtres
Il se trouve que dans le cas où le filtre est linéaire (filtrer la combinaison de deux signaux
est la même chose que de faire la combinaison linéaires des signaux filtrés)
et indépendant du temps (les translations temporelles n'ont aucun effet sur lui)
alors on peut lier la convolution et le filtrage.
Si on définit la réponse impulsionnelle d'un filtre, $h(t)$, le filtrage d'un signal $s(t)$,
noté $f(s)$, n'est autre que la convolution de $h(t)$ avec $s(t)$
\begin{equation}
f(s)=(s\ast h)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\dd t.
\end{equation}
### La convolution discrète
En se rappelant que l'intégrale n'est rien d'autre qu'une somme un peu plus compliquée
