ajout proba cond

cours.tex

@@ -11,6 +11,7 @@
 \usepackage[french]{babel}
 \usepackage{amsfonts,bm,amsmath,amssymb,graphicx,amsthm}
 \usepackage{cancel}
+\usepackage{mathtools}
 
 \setlength{\parindent}{0pt}
 
@@ -3339,6 +3340,9 @@ on ne peut dire quel sera le résultat avant d'avoir effectué l'expérience.
 Avant de commencer à étudier les probabilités du lancer de dé, et les questions qu'on peut se poser, faisons d'abord un peu de vocabulaire
 qui sera utile pour la suite.
 
+\begin{definition}\hfill\break
+ 
+
 \begin{itemize}
 \item[$\bullet$] L'ensemble des résultats possibles du lancer de dé est $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l'\textit{univers} du lancer de dé.
 
@@ -3354,7 +3358,28 @@ Un événement composé d'une seule éventualité est appelé \textit{événemen
 \item[$\bullet$] \textit{L'événement impossible} est l'ensemble vide, $A=\emptyset$. Il correspondrait à l'événement obtenir $7$ ou plus en lançant un dé par exemple. 
 
 \item[$\bullet$] Si $A$ est un événement, on note $p(A)$ la \textit{probabilité} que $A$ soit réalisé.
+
 \end{itemize}
+\end{definition}
+
+Le calcul des \textit{probabilités} de réalisation de certains événement est reliée à la \textit{fréquence} 
+que nous avons indroduit dans la section précédente. Soit un univers $\Omega$ et $A$, $B$ deux événements tels que $A\cap B=\emptyset$.
+On effectue une $N$ expériences, donc $\Omega$ est réalisé $N$ fois. De plus on constate qu'on réalise $A$, $K$ fois et $B$, $M$ fois. 
+On a donc les fréquences suivantes que $A$, $B$ et $\Omega$ se réalisent
+\begin{align}
+ f(A)&=\frac{K}{N},\\
+ f(B)&=\frac{M}{N},\\
+ f(\Omega)&=\frac{N}{N}=1,\\
+ f(A\cap B)&=\frac{M+K}{N}=f(A)+f(B).
+\end{align}
+Les \textit{probabilités} de réalisation des événements ci-dessus peutvent être vues comme le passage à la limite
+$N\rightarrow\infty$ tel que $p(A),p(B)\in\real$ et
+\begin{align}
+ p(A)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ K/N<\infty}}\frac{K}{N},\\
+ p(B)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ M/N<\infty}}\frac{M}{N},\\
+ p(\Omega)&=1,\\
+ p(A\cap B)&=p(A)+p(B).
+\end{align}
 
 Si maintenant nous voulons connaître la probabilité de tirer $6$, ou encore la probabilité de réaliser $A=\{6\}$.  
 Cela est assez intuitif pour le cas du dé. Nous avons $6$ éléments dans l'univers
@@ -3371,7 +3396,9 @@ alors on trouve
 \begin{equation}
  p(\mbox{tirer un nombre pair})=\frac{1}{2}.
 \end{equation}
-De façon générale pour le lancer de dé, on a que la probabilité de réaliser l'événement $A$ est
+De façon générale pour le lancer de dé, on a que la probabilité de réaliser l'événement $A$ est\footnote{De façon générale cela n'est pas vrai. Imaginons que nous
+ayons un sac avec 3 boules: 2 noires et une blanche. La probabilité de réaliser $A$: tirer une boule noire ($p(A)=2/3$) ou $B$: tirer une boule blanche ($p(B)=1/3$) 
+n'est pas donnné par $p(A)=\mbox{nombre d'éléments dans }A/\mbox{nombre total d'éléments}=1/2$, $p(B)=\mbox{nombre d'éléments dans }B/\mbox{nombre total d'éléments}=1/2$.}
 \begin{equation}
 p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}.
 \end{equation}
@@ -3499,6 +3526,118 @@ Il en suit immédiatement que si $A\cap B=\emptyset$, alors
  p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(\emptyset)=p(A)+p(B).
 \end{equation}
 
+\subsection{Axiomes des probabilités}
+Tous ces concepts que nous avons vus précédemments peuvent être vus comme la conséquences des trois axiomes des probabilités
+suivants
+\begin{definition}{Axiomes  des probabilités}
+Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui associe à tout 
+événement de $A$ un nombre réel, qui satisfait les 3 axiomes suivants
+\begin{enumerate}
+ \item Une probabilité est TOUJOURS positive
+ \begin{equation}
+  p(A)\geq 0.
+ \end{equation}
+
+ \item La probabilité de l'événement certain vaut 1
+ \begin{equation}
+  p(\Omega)=1.
+ \end{equation}
+ \item Soit $B\subseteq\Omega$. Si $A\cap B=\emptyset$, alors 
+ \begin{equation}
+ p(A\cup B)=p(A)+p(B). 
+ \end{equation}
+ La probabilité de réalisation de deux évéenements incompatibles est égale à la somme de réalisation
+ de chacun d'entre eux.
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes
+\begin{theoreme}
+Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
+\begin{enumerate}
+ \item $p(B\cap\bar A)=p(B)-p(B\cap A).$
+ \item $p(\emptyset)=0.$
+ \item $p(\bar A)=1-p(A).$
+ \item $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).$
+ \item $p(\bar A\cap \bar B)=1-p(A\cup B).$
+ \item Si $A$ et $B$ sont disjoints, alors $p(A\cup B)=p(A)+p(B).$ 
+ \item Si $A\subseteq B$, alors $p(B\cap \bar A)=p(B)-p(A).$ 
+ \item Si $A\subseteq B$, alors $p(A)\leq p(B).$ 
+ \item $\forall A$, $0\leq p(A)\leq 1.$ 
+\end{enumerate}
+
+ 
+\end{theoreme}
+
+\subsection{Probabilités conditionnelles}
+
+Imaginons à présent que nous ayons une information supplémentaire lorsque nous lançons notre dé. 
+Supposons par exemple que nous sachions lorsque nous lançons le dé que le résultat est pair. A partir de là
+la probabilité de tirer un $6$ est de 
+\begin{equation}
+p(6\mbox{ sachant que le résultat du lancer est un nombre pair})=1/3,
+\end{equation}
+alors que sans l'information sur la parité nous aurions eu $p(6)=1/6$.
+
+Lorsque nous rajoutons comme condition la réalisation préalable d'un événement $B$ à la réalisation d'un événement $A$,
+nous parlons de probabilité conditionnelle, notée $P(A|B)$ (probabilité conditionnelle de $A$ sachant que $B$ s'est produit).
+
+Essayons à présent de voir comment nous pouvons calculer de façon générale les probabilités conditionnelles avec notre exemple ci-dessus.
+Nous avons donc que nous cherchons à calculer $p(A|B)=p(6|{2,4,6})$. Nous avons dans ce cas que $p(A)=1/6$, $p(B)=1/2$ et $p(A\cap B)=p(6)=1/6$.
+Par ailleurs, nous pouvons remarquer que 
+\begin{equation}
+ p(A|B)=\frac{1}{3}=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}.
+\end{equation}
+Nous pouvons vérifier cette relation sur un exemple un peu plus compliqué. Soit $A={1,2,4}$ et $B={2,4,6}$. La probabilité conditionnelle
+$p(A|B)$ revient au calcul de la probabilité de $p(A\cap B|B)=p({2,4}|{2,4,6})=2/3$. Avec notre formule, nous avons
+$p(A\cap B)=1/3$ et $p(B)=1/2$. Il vient donc
+\begin{equation}
+ p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=\frac{2}{3}.
+\end{equation}
+Cette formule peut en fait être vue comme la définition de la probabilité conditionnelle. 
+Si $p(B)\neq0$ alors on appelle probabilité conditionnelle le nombre $p(A|B)$, tel que
+\begin{equation}
+ p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.
+\end{equation}
+
+
+\subsection{Evénements indépendants}
+
+Prenons maintenant le cas ``pathologique'' où nous cherchons la probabilité conditionnelle $p(A|B)$, mais où 
+la réalisation de $B$ n'a aucune influence sur la réalisation de $A$. On a donc 
+\begin{equation}
+ p(A|B)=p(A).
+\end{equation}
+On a donc que 
+\begin{equation}
+ p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=p(A).
+\end{equation}
+On en déduit que 
+\begin{equation}
+p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B).\label{eq_indep}
+\end{equation}
+Et donc on peut calculer $p(B|A)$
+\begin{equation}
+p(B|A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}=\frac{p(A)\cdot p(B)}{p(A)}=p(B).
+\end{equation}
+On a donc que si $A$ ne dépend pas de $B$, alors la réciproque est vraie aussi.
+Les événements qui satisfonts la propriété de l'équation \eqref{eq_indep} sont appelés
+indépendants. Dans le cas contraire ils sont appelé dépendants.
+
+Afin d'illustrer l'indépendance, prenons à nouveau le jet de dé. Supposons que nous effectuions
+deux tirages de suite et que l'événement $A$ soit ``tirer un 6 au premier tirage'' et que l'événement $B$
+soit ``tirer un $2$ au deuxième tirage''. On a que 
+\begin{equation}
+ p(A)=\frac{1}{6},\quad p(B)=\frac{1}{6},\quad p(A\cap B)=\frac{1}{36}.
+\end{equation}
+On a donc bien $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$ et donc les événements sont indépendants. 
+Cela semble bien naturel étant donné que le premier tirage du dé ne va en rien influencer le résultat du deuxieme 
+tirage. Tout comme un tirage de l'euromillions d'une semaine ne va pas influencer le résultat de celui de la semaine suivante.
+
+
+
+
+
 \subsection{Tirages multiples}
 
 Jusqu'ici on a lancer le dé une fois et calculé la probabilité liée à ce lancer unique. 
@@ -3796,7 +3935,7 @@ Quelques paramètres utilisés dans des générateurs connus sont par exemple
 Ce genre de générateur de nombres aléatoires est très efficace d'un point de vue computationnel
 mais la qualité des nombres aléatoires peut être insuffisante. Plusieurs améliorations
 ont été proposées. Par exemple, pour chaque étape, on peut générer $k$ nombres aléatoires
-avec un générateur congruentiel linéaire et combiner de les nombres.
+avec un générateur congruentiel linéaire et combiner les nombres.
 
 La méthode probablement la plus populaire consiste à utiliser 
 des récurrences matricielles sur la représentation binaire des nombres.