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Commit e131ee58 authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
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......@@ -92,6 +92,64 @@ La transition $S\rightarrow I$ est décrite par le taux de transmission de la ma
De même la transition $I\rightarrow R$ est donnée par $\lambda=1/d$, le taux de guérison (ou de mort) qui est simplement
l'inverse du temps nécessaire à la guérison (ou à la mort).
A présent, nous pouvons écrire les équations différentielles
régissant l'évolution de $S(t)$, $I(t)$ et $R(t)$.
Le nombre d'individus susceptible d'attraper la maladie
va décroître proportionnellement au taux de transmission de la maladie multiplié par la fraction du nombre d'individus susceptible de l'attraper sur leur nombre total
$$
S'(t)=-\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N},
$$
où $N=I(t)+S(t)+R(t)$ est la population totale (c'est une constante). Étant donné qu'il n'y a pas d'individus sains
injectés dans le système il n'y a pas de façon de faire croître $S(t)$.
Le nombre de personnes guéries va croître proportionnellement
au nombre de personnes infectées
$$
R'(t)=\lambda I(t).
$$
Finalement, le nombre de personnes infectieuses va croître exactement du
même nombre que le nombre de personne saine ayant attrapé la maladie, et décroître du nombre de personne guéries
$$
I'(t)=\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N} - \lambda I(t).
$$
Nous avons donc un système d'équations différentielles.
\begin{align*}
S'(t)&=-\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N},\\
I'(t)&=\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N} - \lambda I(t),\\
R'(t)&=\lambda I(t).
\end{align*}
La dynamique de ce système est pilotée par $R_0$,
le taux de reproduction de base qui est donné par le rapport du taux de transmission de la maladie avec le taux de guérison
$$
R_0=\frac{\beta}{\lambda}.
$$
Ce système d'équations est **non-linéaire** mais possède une solution analytique. Nous n'allons pas nous intéresser à sa résolution analytique, mais plutôt le résoudre numériquement.
En nous rappelant que la définition de $f'(t)$ est
$$
f'(t)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t+\delta t) - f(t)}{\delta t},
$$
on voit qu'on peut approximer $f'(t)$ par
$$
f'(t)\cong \frac{f(t+\delta t)-f(t)}{\delta t}.
$$
Il vient que le système d'équations ci-dessus peut se réécrire
\begin{align}
S(t+\delta t)&=S(t)-\frac{\delta t\beta I(t)\cdot S(t)}{N},\\
I(t+\delta t)&=I(t)+\delta t\left(\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N} - \lambda I(t)\right),\\
R(t+\delta t)&=R(t)+\delta t\lambda I(t).
\end{align}
A l'aide de ces équations on peut calculer *itérativement*
la valeur de $S, I, R$ de ces valeurs pour un $t$ donné en partant d'une condition initiale $S(0)$, $I(0)$, et $R(0)$.
......
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