ajout derivee ordre 2

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@@ -645,10 +645,76 @@ Saurez-vous écrire la formule d'ordre $\mathcal{O}(h^3)$ pour calculer la déri
 
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+## Que se passe-t-il quand $h\rightarrow 0$?
+
+Lorsque nous utilisons les formules précédentes sur un ordinateur, nous voudrions utiliser un $h$ aussi petit que possible afin d'être aussi précis que possible.
+Néanmoins, plus $h$ devient petit, plus nous risquons des erreurs numériques. En effet, sur un ordinateur la précision numérique
+à disposition est finie. En effet, les nombres à virgules flottantes se représentent en 32 ou 64 bits typiquement, soit une précision d'environ 7 chiffres significatifs et
+16 respectivement. Ici, nous allons essayer de déterminer quelle est la valeur minimale de $h$ que nous pouvons utiliser en fonction du nombre de chiffres significatifs 
+que nous avons à disposition sur un ordinateur.
+
+En d'autres termes soit un nombre réel $a$, et sa représentation sur un ordinateur, $\bar{a}$, la différence entre les deux est la précision numérique
+de la machine et peut s'écrire comme
+$$
+|h-\bar{h}|\sim |h|\cdot 10^{-N},
+$$
+où $N$ est le nombre de chiffres significatifs de la machine. On a donc que $f(x_0+h)$ et $f(x_0)$ sont connus à 
+une précision
+\begin{align}
+f(x_0+h)-\overline{f(x_0+h)}\sim |f(x_0+h)|\cdot 10^{-N}\sim |f(x_0)|\cdot 10^{-N},\\
+f(x_0)-\overline{f(x_0)}\sim |f(x_0)|\cdot 10^{-N}.
+\end{align}
+En utilisant cette information sur la formule de la dérivée en avant par exemple, on a
+$$
+f'(x_0)\cong \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\sim \frac{2\cdot |f(x_0)|\cdot 10^{-N}}{h}.
+$$
+Si $h\gg  2\cdot |f(x_0)|\cdot 10^{-N}$ la précision numérique n'aura pas d'impact sur l'évaluation de la dérivée. En revanche, si 
+$h\sim 10^{-N}$, l'erreur d'arrondi aura un effet dramatique sur le résultat.
+
+## Dérivées d'ordre deux
+
+Nous souhaitons à présent calculer numériquement la deuxième dérivée de la fonction $f(x)$ en $x_0$, soit $f''(x_0)$.
+Pour ce faire, il faut se rappeler que la deuxième dérivée d'une fonction, n'est autre que la dérivée de sa dérivée.
+On peut donc utiliser la formule de différence finie centrée (par exemple) sur $f'(x)$[^1]
+$$
+f''(x_0)=\frac{f'(x_0+h/2)-f(x_0-h/2)}{h}.
+$${#eq:deriv_deux}
+On peut à présent utiliser les formules de différences finies en avant sur $f'(x_0+h/2)$ et $f'(x_0-h/2)$
+\begin{align}
+f'(x_0+h/2)&=\frac{f(x_0+h/2+h/2)-f(x_0+h/2-h/2)}{h}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},\\
+f'(x_0-h/2)&=\frac{f(x_0-h/2+h/2)-f(x_0-h/2-h/2)}{h}=\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}.
+\end{align}
+On peut constater que la première formule revient à calculer $f'(x_0)$ avec la formule de différences finies en avant, 
+alors que la seconde est celle en arrière. On peut donc réécrire l'@eq:deriv_deux comme
+$$
+f''(x_0)=\frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2}.
+$$
+A présent on peut évaluer l'erreur de cette approximation. En utilisant la formule de Taylor sur $f(x_0+h)$ et $f(x_0-h)$
+\begin{align}
+f(x_0+h)&=f(x_0)+h\cdot f'(x_0)+\frac{h^2}{2}\cdot f''(x_0)+\frac{h^3}{6}f'''(x_0)+\frac{h^4}{24}f^{(4)}(\xi),\\
+f(x_0-h)&=f(x_0)-h\cdot f'(x_0)+\frac{h^2}{2}\cdot f''(x_0)+\frac{h^3}{6}f'''(x_0)+\frac{h^4}{24}f^{(4)}(\eta),
+\end{align}
+on peut écrire l'erreur
+$$
+\left|f''(x_0)-\frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2}\right|=\frac{h^2}{24}(f^{(4)}(\xi)+f^{(4)}(\eta))\leq \mathcal{H}\cdot h^2,
+$$
+oû $\mathcal{H}$ est la valeur maximale de $f'''(\xi)+f'''(\eta)$.
+
+---
+
+Exercice (En avant, puis en arrière) +.#
+
+Déterminer la formule pour $f''(x_0)$ en utilisant la formule de la dérivée en avant à la place de celle centrée pour l'@eq:deriv_deux.
+
+---
+
+
+
 ## Résumé
 
 Dans ce chapitre, nous avons vu comment approximer le calcul de dérivées numériquement et prédire l'ordre de l'erreur de ces approximations.
 Nous allons utiliser ces méthodes dans la section suivante où nous allons les utiliser pour interpoler des fonctions.
+Nous avons également discuté l'effet des erreurs d'arrondi sur les dérivées.
 
 # L'interpolation
 
@@ -793,3 +859,6 @@ un système d'équations linéaire où $\mat{X}$ est une matrice dont tous les c
 comme la décomposition $LU$ pour y parvenir. Grâce à différentes autres techniques que nous pouvons voir dans ce qui suit, 
 nous pouvons grandement nous faciliter la tâche en écrivant le système d'équations sous une forme beaucoup plus 
 agréable à résoudre.
+
+
+[^1]: On pourrait, de façon similaire, utiliser la formule de différences finies en avant ou en arrière (ou un mélange des deux).
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