Comme nous l'avons vu en classe, chaque particule possédant une charge $Q$ induit un champs $E$ qui modifie l'espace autour d'elle. Il est possible de représenter ce champs électrique à l'aide d'un champs de vecteur. Lorsque que l'on a une seule particule chargée, chaque vecteur décrit en un point l'action induite par la particule chargée à cette distance. L'intensité de ce champs à une distance $r$ de la particule est donné par la formule suivante :
$$
E = k\frac{Q}{r^2} \qquad \mbox{avec}\ k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
$$
En ce qui concerne sa direction, si $Q>0$ alors le vecteur va chercher à s'éloigner de la particule, et si $Q<0$ alors le vecteur est dirigé vers la particule.
{#fig:champ_e width=50%}
En réalité, on rencontre souvent (très souvent) plus d'une particule chargée, dans ce cas, on se sert du principe de superposition des champs électriques. Le vecteur en un point représente alors la résultante des actions induites par chacune de nos particules chargées.
Une autre représentation du champs électrique peut se faire à l'aide de courbes appelées lignes de champs.
{#fig:plus_minus_field width=80%}
Pour réaliser cette simulation numérique, nous devons commencer par définir notre univers discret. Dans le cadre de ce travail, notre univers est un rectangle $[0,1]\times[0,1]$.
Chaque particule possède une position appartenant à notre univers, ainsi qu'une charge (multiple de la charge élementaire).
Pour dessiner numériquement une courbe, une méthode consiste à l'approximer à l'aide d'un ensemble de segments de droites reliant des points appartenant à cette courbe. Pour dessiner notre ligne de champs, nous devons donc trouver un ensemble de points appartenant à cette ligne. Pour cela on travaille ainsi :
Comme nous l'avons vu en classe, chaque particule possédant une charge $Q$
induit un champs $E$ qui modifie l'espace autour d'elle. Il est possible de
représenter ce champs électrique à l'aide d'un champs de vecteur. Lorsque que
l'on a une seule particule chargée, chaque vecteur décrit en un point l'action
induite par la particule chargée à cette distance. L'intensité de ce champs à
une distance $r$ de la particule est donné par la formule suivante :
$$ E = k\frac{Q}{r^2} \qquad \mbox{avec}\ k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} $$
En ce qui concerne sa direction, si $Q>0$ alors le vecteur va chercher à
s'éloigner de la particule, et si $Q<0$ alors le vecteur est dirigé vers la
particule.
![Champs de vecteurs représentant de champs électrique d'une charge positive.
Pour réaliser cette simulation numérique, nous devons commencer par définir
notre univers discret. Dans le cadre de ce travail, notre univers est un
rectangle $[0,1]\times[0,1]$.
Chaque particule possède une position appartenant à notre univers, ainsi qu'une
charge (multiple de la charge élementaire).
Pour dessiner numériquement une courbe, une méthode consiste à l'approximer à
l'aide d'un ensemble de segments de droites reliant des points appartenant à
cette courbe. Pour dessiner notre ligne de champs, nous devons donc trouver un
ensemble de points appartenant à cette ligne. Pour cela on travaille ainsi :
1. On tire aléatoirement un point dans notre univers $P_0$.
2. On assigne $P=P_0$
3. On calcule $P_{suivant}$ à partir de l'intensité et la direction du champs en $P$, ce qui nous donne $P_{suivant}=P+\sum_{i}^{N}E_i\cdot\frac{\vec{q_iP}}{||\vec{q_iP}||}$ avec $\vec{q_iP}$ le vecteur allant de la particule chargée $q_i$ au point $P$. Dans notre cas, on souhaite avancer d'une même distance à chaque fois, et qui ne soit pas trop grande. On va donc commencer par normaliser le champs, puis on va ajouter une constante $\delta x$ qui est fixe pour notre programme et qui est définie en fonction de la taille de notre fenêtre. Ce qui nous donne $P_{suivant}=P+\delta x\cdot\frac{\vec{E}}{||\vec{E}||}$ avec $\delta x = \frac{1}{\sqrt{\mbox{largeur}^2+\mbox{hauteur}^2}}$ et $\vec{E} = \sum_{i}^{N}E_i\cdot\frac{\vec{q_iP}}{||\vec{q_iP}||}$.
4. Si $P$ et $P_{suivant}$ sont à une distance des particules, supérieure à un seuil choisit et qu'ils sont toujours dans notre univers, on trace un segment entre $P$ et $P_{suivant}$. Sinon, on quitte notre boucle.
3. On calcule $P_{suivant}$ à partir de l'intensité et la direction du champs en
$P$, ce qui nous donne
$P_{suivant}=P+\sum_{i}^{N}E_i\cdot\frac{\vec{q_iP}}{||\vec{q_iP}||}$ avec
$\vec{q_iP}$ le vecteur allant de la particule chargée $q_i$ au point $P$.
Dans notre cas, on souhaite avancer d'une même distance à chaque fois, et qui
ne soit pas trop grande. On va donc commencer par normaliser le champs, puis
on va ajouter une constante $\delta x$ qui est fixe pour notre programme et
qui est définie en fonction de la taille de notre fenêtre. Ce qui nous donne
$P_{suivant}=P+\delta x\cdot\frac{\vec{E}}{||\vec{E}||}$ avec $\delta x =
\frac{1}{\sqrt{\mbox{largeur}^2+\mbox{hauteur}^2}}$ et $\vec{E} =
4. Si $P$ et $P_{suivant}$ sont à une distance des particules, supérieure à un
seuil choisit et qu'ils sont toujours dans notre univers, on trace un segment
entre $P$ et $P_{suivant}$. Sinon, on quitte notre boucle.
5. On assigne $P=P_{suivant}$ et on revient à l'étape 3
Cette méthode nous permet de dessiner partiellement notre ligne de champs. Comme nous partons d'un point aléatoire, il faut également dessiner le reste de la ligne en allant dans le sens opposé. Il faudra donc réitérer notre processus, en partant à nouveau de la deuxième étape, mais en calculant $P_{suivant}=P-\delta x\cdot\frac{\vec{E}}{||\vec{E}||}$.
Cette méthode nous permet de dessiner partiellement notre ligne de champs. Comme
nous partons d'un point aléatoire, il faut également dessiner le reste de la
ligne en allant dans le sens opposé. Il faudra donc réitérer notre processus, en
partant à nouveau de la deuxième étape, mais en calculant $P_{suivant}=P-\delta
x\cdot\frac{\vec{E}}{||\vec{E}||}$.
# Énoncé
Vous allez développer une simulation de lignes de champs générée par un ensemble de particules en C, et visualiser le résultat à l'aide de la librairie SDL. Vous devez réutiliser la librairie de vecteurs en deux dimensions réalisée au premier semestre. Deux fichiers utils.h et utils.c vous seront fournis avec l'énoncé. Le fichier utils.c contient des méthodes afin de vous faciliter la réalisation de ce TP.
Vous allez développer une simulation de lignes de champs générée par un ensemble
de particules en C, et visualiser le résultat à l'aide de la librairie SDL. Vous
devez réutiliser la librairie de vecteurs en deux dimensions réalisée au premier
semestre. Deux fichiers utils.h et utils.c vous seront fournis avec l'énoncé. Le
fichier utils.c contient des méthodes afin de vous faciliter la réalisation de
ce TP.
Ce travail va se diviser en deux parties.
## Dessin
Pour pouvoir representer ce que vous allez calculer dans la deuxième partie, vous allez devoir dessiner des droites et des cercles à l'aide des méthodes présentées en cours. Pour cela vous implémenterez les fonctions suivantes :
Pour pouvoir representer ce que vous allez calculer dans la deuxième partie,
vous allez devoir dessiner des droites et des cercles à l'aide des méthodes
présentées en cours. Pour cela vous implémenterez les fonctions suivantes :
Comme nous l'avons vu durant la partie théorique, vous allez devoir calculer différents points appartenants à différentes lignes de champs. Pour cela vous implémenterez les fonctions suivantes :
Comme nous l'avons vu durant la partie théorique, vous allez devoir calculer
différents points appartenants à différentes lignes de champs. Pour cela vous
