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malaspinas authoredmalaspinas authored
author:
- Orestis Malaspinas
title: Résumé du cours de mathématiques
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Rappel
Fonctions
f de façon générale est un objet qui prend un (ou plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associe (associent) un résultat. \mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}). Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons deux ensembles A et B. Supposons qu'à chaque élément x\in A est associé un élément dans B que nous notons par f(x). Alors on dit que f est une fonction ou une application (de A dans B). A ce niveau A et B sont arbitraires mais dans la suite nous allons nous intéresser surtout du cas où A=\subset\real. Les valeurs de f constituent les images de x.
Une fonctionExemple (Fonctions, généralités) +.#
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La tension U est une fonction de la résistance R et du courant I \begin{aligned} U=f(R,I)=R\cdot I.\end{aligned}
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Une fonction peut être quelque chose de beaucoup plus général (qu’on ne peut pas forcément représenter simplement avec des opérateurs mathématiques). Prenons le cas de la fonction qui pour un nombre entier x rend le prochain entier dont le nom commence par la même lettre que x. f(2)=10,\ f(3)=13,\ ...
Dans ce cours nous allons nous intéresser à des fonctions à un seul paramètre (aussi appelé variable). Si on note la variable x et le résultat y, de façon générale on peut écrire y = f(x). Si par ailleurs on a une fonction g et une fonction f, on peut effectuer des compositions de fonction, qu’on note g\circ f, ou encore y=g(f(x)).
Exemple (Fonctions) +.#
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Soit f(x)=2\cdot x et g(x)=\sqrt{x}, alors la composition des deux fonctions (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.
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On peut composer un nombre arbitraire de fonctions. Voyons le cas avec trois fonctions f(x)=2x^2+3, g(x)=\cos(2\cdot x), et h(x)=1/x f(g(h(x)))=f(g(1/x))=f(\cos(2/x))=2\cos^2(2/x)+3.
Pour certaines fonctions, notons les f(x), on peut également définir une fonction inverse que l’on note f^{-1}(x) dont la composition donne la variable de départ f(f^{-1}(x))=x.
Exemple (Fonction inverse) +.#
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Soient f(x)=2\cdot x et f^{-1}(x)=x/2, alors la composition des deux fonctions f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.
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Soient f(x)=x^2 et f^{-1}(x)=\sqrt{x}, alors la composition des deux fonctions f(f^{-1}(x))=f(\sqrt{x})=|x|. On a donc que \sqrt{x} est l’inverse de x^2 uniquement pour les réels positifs. f(x)=x^2 n’a pas d’inverse pour les x négatifs. On peut se convaincre qu'une fonction ne peu admettre une inverse que si elle elle satisfait la condition x_1\neq x_2 \rightarrow f(x_1)\neq f(x_2). Dans notre exemple -1\neq 1 mais (f(-1)=f(1)=1$
Domaine de définition
Définition (Domaine de définition) +.#
Le domaine de définition, noté D\subset{\real}, d’une fonction f, est l’ensemble de valeurs où f admet une image.