maj champs électrique

03_charge_electrique_champs_electrique.md

@@ -778,10 +778,101 @@ Si on numérote les $N$ facettes d'une surface **fermée**, $\{\Delta S_i\}_{i=1
 et l'angle entre la normale de la $i$-ème facette avec le champs $E$, $\{\theta_i\}_{i=1}^N$
 on peut écrire la **loi de Gauss**
 $$
-\sum_i^N E\Delta S_i\cos\theta_i=\frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0}.
+\sum_i^N E\Delta S_i\cos\theta_i=\sum_i^N E_{i,\perp}\Delta S_i=\frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0},
 $$
+où $E_{i,\perp}$ est la projection de $\vec E$ sur le vecteur perpendiculaire à
+la surface $\Delta S_i$.
 
+---
+
+Exemple (Sphère chargée) #
+
+Une surface conductrice sphérique  de rayon $R_0$ et possédant une 
+charge $Q$ distribuée uniformément sur sa surface. Déterminer le champs
+électrique
+
+1. À l'extérieur de la surface.
+2. À l'intérieur de la surface.
+
+---
+
+---
+
+Solution (Sphère chargée) #
+
+Considérations philosophiques: comme la charge est distribuée de façon
+symétrique, le champs électrique doit également être symétrique. Ainsi
+la seul façon pour qu'il soit symétrique est qu'il soit en tout point
+perpendiculaire à la surface et ne dépendre que de $R$, la distance entre le centre de la sphère et le point de l'espace où on mesure le champs électrique.
+
+On va utiliser la loi de Gauss pour résoudre cet exercice. Pour ce faire nous allons
+choisir deux surfaces différentes comme nous allons le voir ci-après.
 
+1. On choisit une surface sphérique, $S_1$, avec $R>R_0$ et concentrique avec la sphère
+de départ. Par symétrie, le champs a la même amplitude sur toute la surface $S_1$,
+on a donc que $E_{i,\perp}=E$ pour n'importe quelle valeur de $i$. La loi de Gauss
+s'écrit donc
+$$
+\sum_i^N E_{i,\perp}\Delta S_i=E\sum_i^N \Delta S_i=E(\4 \pi R^2)=\frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0},
+$$
+où nous avons utilisé que $\sum_i \Delta S_i$ est la surface totale de la sphère de
+rayon $R$. Il ne nous reste qu'à résoudre cette équation pour $E$, et il vient
+$$
+E=\frac{1}{4 \pi epsilon_0}\frac{Q}{R^2}=k\frac{Q}{R^2}.
+$$
+Ce qui est intéressant car c'est **exactement** le même résultat que pour une charge
+ponctuelle, de charge $Q$, qui se trouverait au centre de la sphère.
+2. De façon similaire, on peut construire une surface $S_2$ sphérique, concentrique avec
+la sphère originale, avec $R < R_0$. On a donc 
+$$
+E\sum_i^N \Delta S_i=E(\4 \pi R^2)=\frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0}=0,
+$$
+car $Q_\mathrm{int}=0$ dans ce cas (toute la charge est sur la surface chargée).
+On a donc que le champs à l'intérieur de $S_2$ est nul, et donc le champs à l'intérieur d'une sphère chargée est nul.
+
+---
+
+---
 
+Question (Et si on remplissait la sphère) #
 
+Que se passerait-il si la sphère était pleine?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Et si on remplissait la sphère) #
+
+En fait ce résultat est valide pour n'importe quelle sphère pleine conductrice chargée. En effet, toutes les charges se repousseraient et se répartiraient uniformément sur sa surface.
+On se retrouverait dans la même situation que pour la sphère vide. 
+
+---
+
+## Résumé
+
+On a vu plusieurs concepts importants dans ce chapitre.
+
+* La **charge électrique** peut être négative ou positive et qui est toujours **conservée**.
+* Les matériaux **isolants** et **conducteurs** qui respectivement conduisent ou pas l'électricité. Contrairement au isolants, les conducteurs possèdent des **électrons libres** qui peuvent se déplacer à l'intérieur d'un solide.
+* La charge électrique est **quantisée**: il existe une charge élémentaire, $e$, qui est la charge du proton, $+e$, ou celle de l'électron $-e$.
+* Les charges électriques exercent des **forces** les unes sur les autres. Elles sont attractives pour des charges de types différents et répulsives pour les charges de même type.
+* La **loi de Coulomb** donne la relation entre la **force électrostatique**, la charge, et la distance entre deux object (respectivement, $Q_1$, $Q_2$, et $r$):
+$$
+F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}.
+$$
+* Le **champs électrique** est une quantité existant dans l'espace autour des charges. Il peut être mesuré à l'aide d'une charge test $q$
+$$
+\vec E=\frac{\vec F}{q}.
+$$
+* L'amplitude du champs électrique autour d'une charge est
+$$
+E=k\frac{Q}{r^2}.
+$$
+* Le champs électrique total autour de plusieurs charges est la somme de toutes les champs électriques. Cela est dû au **principe de superposition**.
+* Le **flux** du champs électrique est donné par la quantité donnée par le produit entre la projection du champs électrique sur la normale de la surface, $E_\perp$, multipliée par la surface, $\Delta S$
+$$
+\Phi_E=E_\perp\cdot \Delta S.
+$$
+* La **loi de Gauss** nous dit que le flux total au travers d'une **surface fermée** est proportionnel à la charge se trouvant à l'intérieur de la surface.