Skip to content
Snippets Groups Projects
Commit 6310f476 authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
Browse files

ajouts dives

parent 0d87c7dc
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
Hide whitespace changes
Inline Side-by-side
cours.md
+ 32
− 38
View file @ 6310f476
...@@ -2123,7 +2123,7 @@ appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations ...@@ -2123,7 +2123,7 @@ appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations
$+$ (l’addition) et $\cdot$ (la multiplication par un scalaire) qui ont les $+$ (l’addition) et $\cdot$ (la multiplication par un scalaire) qui ont les
propriétés suivantes propriétés suivantes
- -
1. L’addition est associative et commutative. Soient $u,v,w\in V$, 1. L’addition est associative et commutative. Soient $u,v,w\in V$,
alors $$u+v=v+u,\quad \mbox{ et }\quad (u+v)+w=u+(v+w).$$ alors $$u+v=v+u,\quad \mbox{ et }\quad (u+v)+w=u+(v+w).$$
...@@ -2133,7 +2133,7 @@ propriétés suivantes ...@@ -2133,7 +2133,7 @@ propriétés suivantes
3. Tout $v$ admet un opposé, noté $-v$ tel que $$v+(-v)=0_V.$$ 3. Tout $v$ admet un opposé, noté $-v$ tel que $$v+(-v)=0_V.$$
- -
1. La multiplication par un scalaire est distributive à gauche sur 1. La multiplication par un scalaire est distributive à gauche sur
l’addition (et à droite sur $E$). Pour $u,v\in V$ et l’addition (et à droite sur $E$). Pour $u,v\in V$ et
...@@ -2896,26 +2896,26 @@ Illustration +.# ...@@ -2896,26 +2896,26 @@ Illustration +.#
entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$ entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$
et $1'000'000$ CHF. et $1'000'000$ CHF.
- Il y a 35 personnes payées $40'000$ CHF. - Il y a 35 personnes payées $40'000$ CHF.
- Il y a 20 personnes payées $50'000$ CHF. - Il y a 20 personnes payées $50'000$ CHF.
- Il y a 5 personnes payées $60'000$ CHF. - Il y a 5 personnes payées $60'000$ CHF.
- Il y a 1 personne payée $1'000'000$ CHF. - Il y a 1 personne payée $1'000'000$ CHF.
2. Cas continu: Lors du benchmark d’une application, $A$, nous 2. Cas continu: Lors du benchmark d’une application, $A$, nous
effectuons plusieurs mesures (la population) du temps d’exécution effectuons plusieurs mesures (la population) du temps d’exécution
(le caractère) de l’application. Les résultats obtenus sont les (le caractère) de l’application. Les résultats obtenus sont les
suivants: suivants:
- 7 exécutions ont pris entre 50 et 51 secondes. - 7 exécutions ont pris entre 50 et 51 secondes.
- 12 exécutions ont pris entre 51 et 52 secondes. - 12 exécutions ont pris entre 51 et 52 secondes.
- 8 exécutions ont pris entre 52 et 53 secondes. - 8 exécutions ont pris entre 52 et 53 secondes.
- 23 exécutions ont pris entre 53 et 54 secondes. - 23 exécutions ont pris entre 53 et 54 secondes.
--- ---
...@@ -2936,7 +2936,7 @@ le cas des salaires (voir Tabl. @fig:salaires) ...@@ -2936,7 +2936,7 @@ le cas des salaires (voir Tabl. @fig:salaires)
et du benchmark de l’application (voir Tabl. @fig:exec) et du benchmark de l’application (voir Tabl. @fig:exec)
Temps d’exécution Nombre Temps d’exécution Nombre
------------------- -------- ------------------- --------
\[50,51) 7 \[50,51) 7
\[51,52) 12 \[51,52) 12
\[52,53) 8 \[52,53) 8
...@@ -3189,8 +3189,8 @@ avons vus plus tôt dans le cours. ...@@ -3189,8 +3189,8 @@ avons vus plus tôt dans le cours.
--- ---
Exemple du jeu de dé Probabilités: Exemple du jeu de dé
-------------------- ----------------------------------
On considère un dé à 6 faces. Le lancer de dé est une *expérience On considère un dé à 6 faces. Le lancer de dé est une *expérience
aléatoire*, car on ne peut dire quel sera le résultat avant d’avoir aléatoire*, car on ne peut dire quel sera le résultat avant d’avoir
...@@ -3204,29 +3204,23 @@ sera utile pour la suite. ...@@ -3204,29 +3204,23 @@ sera utile pour la suite.
Définition +.# Définition +.#
- L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est - L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du
lancer de dé. lancer de dé.
- Chaque résultat possible du lancer de dé ($1$, $2$, etc), noté
- Chaque résultat possible du lancer de dé ($1$, $2$, etc), noté
$\omega\in\Omega$, est appelé une *éventualité*. $\omega\in\Omega$, est appelé une *éventualité*.
- Un ensemble de résultats possibles, par exemple tous les résultats
- Un ensemble de résultats possibles, par exemple tous les résultats
pairs du lancer de dé $A=\{2, 4, 6\}\in\Omega$, s’appelle un pairs du lancer de dé $A=\{2, 4, 6\}\in\Omega$, s’appelle un
*événement*. Un événement composé d’une seule éventualité est appelé *événement*. Un événement composé d’une seule éventualité est appelé
*événement élémentaire*. *événement élémentaire*.
- On dit que l’événement $A$ est *réalisé* si on obtient $2$, $4$, ou
- On dit que l’événement $A$ est *réalisé* si on obtient $2$, $4$, ou
$6$ en lançant le dé. $6$ en lançant le dé.
- *L’événement certain* est l’univers en entier. On est certain de
- *L’événement certain* est l’univers en entier. On est certain de
réaliser l’événement. réaliser l’événement.
- *L’événement impossible* est l’ensemble vide, $A=\emptyset$. Il
- *L’événement impossible* est l’ensemble vide, $A=\emptyset$. Il
correspondrait à l’événement obtenir $7$ ou plus en lançant un dé correspondrait à l’événement obtenir $7$ ou plus en lançant un dé
par exemple. par exemple.
- Si $A$ est un événement, on note $p(A)$ la *probabilité* que $A$
- Si $A$ est un événement, on note $p(A)$ la *probabilité* que $A$
soit réalisé. soit réalisé.
--- ---
...@@ -3753,9 +3747,9 @@ Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices. ...@@ -3753,9 +3747,9 @@ Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices.
tire successivement deux boules sans remise. Calculer et comparer tire successivement deux boules sans remise. Calculer et comparer
les probabilités des deux événements suivants les probabilités des deux événements suivants
- Tirer deux boules de même couleur. - Tirer deux boules de même couleur.
- Tirer deux boules de couleurs différentes. - Tirer deux boules de couleurs différentes.
2. Une bille, lâchée en $O$ tombe dans l’une des trois boîtes $A$, $B$, 2. Une bille, lâchée en $O$ tombe dans l’une des trois boîtes $A$, $B$,
ou $C$. A chaque bifurcation, la bille tombe à gauche avec la ou $C$. A chaque bifurcation, la bille tombe à gauche avec la
...@@ -3765,28 +3759,28 @@ Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices. ...@@ -3765,28 +3759,28 @@ Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices.
![Une bille lâchée en $O$ tombe dans la boîte $A$, $B$, ou ![Une bille lâchée en $O$ tombe dans la boîte $A$, $B$, ou
$C$.](figs/bille.pdf){#fig:bille height="2.8truecm"} $C$.](figs/bille.pdf){#fig:bille height="2.8truecm"}
- Calculer les probabilités $p(A)$, $p(B)$, $p(C)$ pour qu’une - Calculer les probabilités $p(A)$, $p(B)$, $p(C)$ pour qu’une
bille lâchée de O tombe respectivement dans la boîte $A$, $B$ ou bille lâchée de O tombe respectivement dans la boîte $A$, $B$ ou
$C$. $C$.
- On lâche deux billes en $O$. Calculer la probabilité pour que - On lâche deux billes en $O$. Calculer la probabilité pour que
les deux billes tombent dans la même boîte. les deux billes tombent dans la même boîte.
- On lâche trois billes en $O$. Calculer la probabilité d’avoir - On lâche trois billes en $O$. Calculer la probabilité d’avoir
une bille dans chaque boîte. une bille dans chaque boîte.
- On lâche dix billes en $O$. Calculer la probabilité d’avoir au - On lâche dix billes en $O$. Calculer la probabilité d’avoir au
moins trois billes dans la boîte B. moins trois billes dans la boîte B.
3. A la naissance, la probabilité qu’un enfant soit un garçon est de 3. A la naissance, la probabilité qu’un enfant soit un garçon est de
$p(G)=0.514$. $p(G)=0.514$.
- Calculer et la probabilité qu’un enfant soit une fille. - Calculer et la probabilité qu’un enfant soit une fille.
- On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la - On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la
probabilité que les deux enfants soient de même sexe. probabilité que les deux enfants soient de même sexe.
- On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la - On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la
probabilité que les deux enfants soient de sexes différents. probabilité que les deux enfants soient de sexes différents.
Variables aléatoires Variables aléatoires
...@@ -3971,13 +3965,13 @@ exactement). ...@@ -3971,13 +3965,13 @@ exactement).
Quelques paramètres utilisés dans des générateurs connus sont par Quelques paramètres utilisés dans des générateurs connus sont par
exemple exemple
- la fonction `rand()` du langage $C$ - la fonction `rand()` du langage $C$
$$a=1103515245,\quad c=12345,\quad m=2^{32}.$$ $$a=1103515245,\quad c=12345,\quad m=2^{32}.$$
- la fonction `drand()` du langage $C$ - la fonction `drand()` du langage $C$
$$a=25214903917,\quad c=11,\quad m=2^{48}.$$ $$a=25214903917,\quad c=11,\quad m=2^{48}.$$
- le générateur `RANDU` des ordinateurs IBM des années 1960 - le générateur `RANDU` des ordinateurs IBM des années 1960
$$a=65539,\quad c=0,\quad m=2^{32}.$$ $$a=65539,\quad c=0,\quad m=2^{32}.$$
Ce genre de générateur de nombres aléatoires est très efficace d’un Ce genre de générateur de nombres aléatoires est très efficace d’un
......
exercices/Makefile
+ 4
− 1
View file @ 6310f476
...@@ -2,11 +2,14 @@ FILTERS = --filter=pandoc-numbering --filter=pandoc-crossref ...@@ -2,11 +2,14 @@ FILTERS = --filter=pandoc-numbering --filter=pandoc-crossref
TEMPLATE = --template=./default.latex TEMPLATE = --template=./default.latex
PDFENGINE = --pdf-engine pdflatex PDFENGINE = --pdf-engine pdflatex
all: fourier.pdf probas.pdf all: fourier.pdf fourier_serie1.pdf probas.pdf
fourier.pdf: fourier.md fourier.pdf: fourier.md
pandoc -s -o $@ $< $(FILTERS) $(TEMPLATE) $(PDFENGINE) pandoc -s -o $@ $< $(FILTERS) $(TEMPLATE) $(PDFENGINE)
fourier_serie1.pdf: fourier_serie1.md
pandoc -s -o $@ $< $(FILTERS) $(TEMPLATE) $(PDFENGINE)
probas.pdf: probas.md probas.pdf: probas.md
pandoc -s -o $@ $< $(FILTERS) $(TEMPLATE) $(PDFENGINE) pandoc -s -o $@ $< $(FILTERS) $(TEMPLATE) $(PDFENGINE)
......
exercices/fourier_serie1.md
+ 1
− 1
View file @ 6310f476
...@@ -123,7 +123,7 @@ On peut assez simplement calculer les coefficients de Fourier $a_j$, ...@@ -123,7 +123,7 @@ On peut assez simplement calculer les coefficients de Fourier $a_j$,
qui sont donnés par (la fonction $f$ étant impaire, nous pouvons utiliser le fait que $f(x)\sin(jx)$ est, elle, paire, d'où l'intégration sur le demi-domaine) qui sont donnés par (la fonction $f$ étant impaire, nous pouvons utiliser le fait que $f(x)\sin(jx)$ est, elle, paire, d'où l'intégration sur le demi-domaine)
\begin{align} \begin{align}
a_j&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin(x/2)\sin(jx)\dd x=\frac{1}{\pi}\left(\int_0^\pi \cos((j-1/2)x)-\cos((j+1/2)x)\dd x\right),\\ a_j&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin(x/2)\sin(jx)\dd x=\frac{1}{\pi}\left(\int_0^\pi \cos((j-1/2)x)-\cos((j+1/2)x)\dd x\right),\\
&=\frac{1}{\pi}\left(\frac{\sin((n-1/2)x)}{n-1/2}-\frac{\sin((n+1/2)x)}{n+1/2}\right)_{0}^\pi=-\frac{(-1)^j}{\pi}\frac{2j}{j^2-1/4}. &=\frac{1}{\pi}\left.\left(\frac{\sin((n-1/2)x)}{n-1/2}-\frac{\sin((n+1/2)x)}{n+1/2}\right)\right|_{0}^\pi=-\frac{(-1)^j}{\pi}\frac{2j}{j^2-1/4}.
\end{align} \end{align}
Exercice +.# Exercice +.#
......
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Please register or to comment