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...@@ -38,18 +38,26 @@ L’aire de sous la fonction $f(x)$ est donnée par la limite pour ...@@ -38,18 +38,26 @@ L’aire de sous la fonction $f(x)$ est donnée par la limite pour
$n\rightarrow\infty$ de $A^i$ ou $A^s$ (si elle existe). Dans ce cas $n\rightarrow\infty$ $A^R$ (pris en sandwich entre $A^i$ et $A^n$) $n\rightarrow\infty$ de $A^i$ ou $A^s$ (si elle existe). Dans ce cas $n\rightarrow\infty$ $A^R$ (pris en sandwich entre $A^i$ et $A^n$)
nous donne aussi l'aire sous la fonction. nous donne aussi l'aire sous la fonction.
#### Remarque {-} ---
Remarque #
1. Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe 1. Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe
de $f$. de $f$.
2. Une implémentation informatique est immédiate, en particulier pour la somme de Riemann. 2. Une implémentation informatique est immédiate, en particulier pour la somme de Riemann.
#### Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) {-} ---
---
Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) #
Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
---
Dans la formule Dans la formule
$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x,$$ $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x,$$
$x$ est appelée $x$ est appelée
...@@ -60,7 +68,7 @@ d’intégration. ...@@ -60,7 +68,7 @@ d’intégration.
--- ---
#### Exemple (Intégration de Riemann) {-} Exemple (Intégration de Riemann) #
Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$. Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
...@@ -68,7 +76,7 @@ Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$. ...@@ -68,7 +76,7 @@ Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
--- ---
#### Solution (Intégration de Riemann) {-} Solution (Intégration de Riemann) #
Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un
triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire
...@@ -89,7 +97,7 @@ $\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que ...@@ -89,7 +97,7 @@ $\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que
--- ---
#### Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) {-} Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) #
Calculer l’aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ dans intervalle $[0,1]$. Calculer l’aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ dans intervalle $[0,1]$.
...@@ -125,25 +133,33 @@ Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l’intégrale ...@@ -125,25 +133,33 @@ Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l’intégrale
d’une fonction, il s’avère que le calcul d’une intégrale est l’inverse d’une fonction, il s’avère que le calcul d’une intégrale est l’inverse
du calcul d’une dérivée. du calcul d’une dérivée.
#### Définition (Primitive) {-} ---
Définition (Primitive) #
Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur
l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$. l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$.
---
Si $F$ est une primitive de $f$, alors on peut définir la fonction $G$ Si $F$ est une primitive de $f$, alors on peut définir la fonction $G$
telle que $G(x)=F(x)+C$, $C\in{\real}$ qui est aussi une telle que $G(x)=F(x)+C$, $C\in{\real}$ qui est aussi une
primitive de $f$. On voit que la primitive de $f$ est définie à une primitive de $f$. On voit que la primitive de $f$ est définie à une
constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a
$$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$ $$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$
#### Théorème (Unicité) {-} ---
Théorème (Unicité) #
Pour $a\in D$ et $b\in{\real}$ il existe une unique Pour $a\in D$ et $b\in{\real}$ il existe une unique
primitive $F$ telle que $F(a)=b$. primitive $F$ telle que $F(a)=b$.
--- ---
#### Illustration (Unicité) {-} ---
Illustration (Unicité) #
Soit $f(x)=x$, alors l’ensemble de primitives correspondantes est Soit $f(x)=x$, alors l’ensemble de primitives correspondantes est
$G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la primitive telle que $G(0)=0$, il vient $G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la primitive telle que $G(0)=0$, il vient
...@@ -153,7 +169,7 @@ que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut $F(x)=x^2/2$. ...@@ -153,7 +169,7 @@ que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut $F(x)=x^2/2$.
--- ---
#### Exercices (Primitives) {-} Exercices (Primitives) #
Calculez les primitives suivantes (*indication: il s’agit de trouver les Calculez les primitives suivantes (*indication: il s’agit de trouver les
fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*): fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*):
...@@ -186,12 +202,16 @@ pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite: ...@@ -186,12 +202,16 @@ pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
5. $\int \cos(x){\mathrm{d}}x=\sin(x)+C$. 5. $\int \cos(x){\mathrm{d}}x=\sin(x)+C$.
#### Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) {-} ---
Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) #
En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion
de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$ de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$
$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).$${#eq:thm_fond} $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).$${#eq:thm_fond}
---
On dit que $x$ est la variable d’intégration. Elle est dite “muette” car On dit que $x$ est la variable d’intégration. Elle est dite “muette” car
elle disparaît après que l’intégrale ait été effectuée. On peut donc elle disparaît après que l’intégrale ait été effectuée. On peut donc
écrire l’équation ci-dessus de façon équivalente en remplaçant le écrire l’équation ci-dessus de façon équivalente en remplaçant le
...@@ -199,7 +219,7 @@ symbole $x$ par n’importe quelle autre lettre (sauf $a,b,f,F$). ...@@ -199,7 +219,7 @@ symbole $x$ par n’importe quelle autre lettre (sauf $a,b,f,F$).
--- ---
#### Remarque {-} Remarque #
On notera que la constante additive $C$ a disparu de cette formule. En On notera que la constante additive $C$ a disparu de cette formule. En
effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient
...@@ -215,7 +235,9 @@ Nous pouvons à présent définir la fonction $G(x)$ telle que ...@@ -215,7 +235,9 @@ Nous pouvons à présent définir la fonction $G(x)$ telle que
$$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Il suit que $G(x)$ $$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Il suit que $G(x)$
est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$. est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$.
#### Propriétés {-} ---
Propriétés #
Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle
$D=[a,b]\subseteq{\real}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\real}$. $D=[a,b]\subseteq{\real}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\real}$.
...@@ -240,6 +262,8 @@ On a ...@@ -240,6 +262,8 @@ On a
6. Si $f$ est impaire alors $$\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x = 0.$$ 6. Si $f$ est impaire alors $$\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x = 0.$$
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### Intégrales impropres ### Intégrales impropres
Si une des bornes d’intégration ou si la fonction à intégrer admet une Si une des bornes d’intégration ou si la fonction à intégrer admet une
...@@ -254,12 +278,12 @@ cas de figures suivants $$\begin{aligned} ...@@ -254,12 +278,12 @@ cas de figures suivants $$\begin{aligned}
--- ---
#### Exemple (Intégrale impropre) {-} Exemple (Intégrale impropre) #
Calculer l’intégrale suivante Calculer l’intégrale suivante
$$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.$$ $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.$$
#### Solution (Intégrale impropre) {-} Solution (Intégrale impropre) #
Nous pouvons réécrire Nous pouvons réécrire
l’intégrale ci-dessus comme l’intégrale ci-dessus comme
...@@ -269,7 +293,7 @@ $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b e ...@@ -269,7 +293,7 @@ $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b e
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Calculer l’intégrale suivante Calculer l’intégrale suivante
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}{\mathrm{d}}x.$$ $$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}{\mathrm{d}}x.$$
...@@ -280,16 +304,24 @@ Lorsque nous avons une discontinuité dans la fonction $f$ au point ...@@ -280,16 +304,24 @@ Lorsque nous avons une discontinuité dans la fonction $f$ au point
$c\in[a,b]$ nous avons $c\in[a,b]$ nous avons
$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x){\mathrm{d}}x +\int_{c+\varepsilon}^b f(x){\mathrm{d}}x.$$ $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x){\mathrm{d}}x +\int_{c+\varepsilon}^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
#### Exercice {-} ---
Exercice #
Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\ln{2}.$$ Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\ln{2}.$$
#### Définition (Valeur moyenne) {-} ---
---
Définition (Valeur moyenne) #
Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ avec $a<b$, Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ avec $a<b$,
alors la valeur moyenne $\bar{f}$ de cette fonction sur $[a,b]$, est définie par alors la valeur moyenne $\bar{f}$ de cette fonction sur $[a,b]$, est définie par
$$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x.$$ $$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x.$$
---
Méthodes d’intégration Méthodes d’intégration
---------------------- ----------------------
...@@ -302,7 +334,7 @@ Le calcul d’une primitive ou d’une intégrale n’est en général pas une ...@@ -302,7 +334,7 @@ Le calcul d’une primitive ou d’une intégrale n’est en général pas une
chose aisée. Nous connaissons les formules d’intégration pour certaines chose aisée. Nous connaissons les formules d’intégration pour certaines
fonctions particulières. fonctions particulières.
#### Polynômes Polynômes
Les polynômes s’intègrent terme à terme. Pour Les polynômes s’intègrent terme à terme. Pour
$(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned} $(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
...@@ -312,14 +344,14 @@ $(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned} ...@@ -312,14 +344,14 @@ $(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Intégrer la fonction suivante Intégrer la fonction suivante
$$\int (x+2)(x^3+3x^2+4x-3){\mathrm{d}}x.$$ $$\int (x+2)(x^3+3x^2+4x-3){\mathrm{d}}x.$$
--- ---
#### Application de la règle de chaîne pour l’intégration Application de la règle de chaîne pour l’intégration
Une primitive d'une fonction de la forme $f(x)f'(x)$ se calcule aisément Une primitive d'une fonction de la forme $f(x)f'(x)$ se calcule aisément
$$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$ $$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$
...@@ -327,21 +359,21 @@ $$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$ ...@@ -327,21 +359,21 @@ $$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$
Nous calculons par exemple Nous calculons par exemple
$$\int \sin(x)\cos(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x)+c=-\frac{1}{2}\cos^2(x)+c'.$${#eq:sin_cos} $$\int \sin(x)\cos(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x)+c=-\frac{1}{2}\cos^2(x)+c'.$${#eq:sin_cos}
#### Inverse de la dérivation logarithmique Inverse de la dérivation logarithmique
Une primitive de la forme Une primitive de la forme
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}{\mathrm{d}}x=\ln(f(x))+c.$$ $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}{\mathrm{d}}x=\ln(f(x))+c.$$
--- ---
#### Exemple {-} Exemple #
Calculer la primitive suivante Calculer la primitive suivante
$$ $$
\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x. \int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x.
$$ $$
#### Solution {-} Solution #
Le calcul de la primitive de suivante Le calcul de la primitive de suivante
$$\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\int \frac{(x)'}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+c.$$ $$\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\int \frac{(x)'}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+c.$$
...@@ -354,12 +386,16 @@ Une des façons les plus simples de calculer une primitive est ...@@ -354,12 +386,16 @@ Une des façons les plus simples de calculer une primitive est
de reconnaître la règle de chaîne dans le terme à intégrer de reconnaître la règle de chaîne dans le terme à intégrer
$$\int g'(f(x))f'(x){\mathrm{d}}x=\int [g(f(x))]' {\mathrm{d}}x=g(f(x))+c.$$ $$\int g'(f(x))f'(x){\mathrm{d}}x=\int [g(f(x))]' {\mathrm{d}}x=g(f(x))+c.$$
#### Illustration {-} ---
Illustration #
Si $g$ est définie comme $g(x)=x^{-1}$ et $f(x)=3x^2+2$, alors la Si $g$ est définie comme $g(x)=x^{-1}$ et $f(x)=3x^2+2$, alors la
primitive primitive
$$\int \frac{f'(x)}{g'(f(x))}{\mathrm{d}}x=\int -\frac{6 x}{(3x^2+2)^2}{\mathrm{d}}x=\frac{1}{3x^2+2}+c.$$ $$\int \frac{f'(x)}{g'(f(x))}{\mathrm{d}}x=\int -\frac{6 x}{(3x^2+2)^2}{\mathrm{d}}x=\frac{1}{3x^2+2}+c.$$
---
### Intégration par parties ### Intégration par parties
La dérivation d’un produit de fonctions $f\cdot g$ s’écrit La dérivation d’un produit de fonctions $f\cdot g$ s’écrit
...@@ -384,7 +420,7 @@ Des “règles” pour utiliser cette technique seraient que ...@@ -384,7 +420,7 @@ Des “règles” pour utiliser cette technique seraient que
--- ---
#### Exemple {-} Exemple #
Calculer les primitives suivantes Calculer les primitives suivantes
...@@ -392,7 +428,7 @@ Calculer les primitives suivantes ...@@ -392,7 +428,7 @@ Calculer les primitives suivantes
2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$. 2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$.
#### Solution {-} Solution #
1. $\int x e^x{\mathrm{d}}x$. $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$, 1. $\int x e^x{\mathrm{d}}x$. $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$,
$f(x)=e^x$. Il vient $f(x)=e^x$. Il vient
...@@ -415,11 +451,11 @@ parties. ...@@ -415,11 +451,11 @@ parties.
--- ---
#### Exemple {-} Exemple #
Calculer l’intégrale de $\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x$. Calculer l’intégrale de $\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x$.
#### Solution {-} Solution #
En posant $g(x)=x^2$, En posant $g(x)=x^2$,
$f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=2x$, $f(x)=e^x$. Il vient $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=2x$, $f(x)=e^x$. Il vient
...@@ -432,7 +468,7 @@ $$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x{\mathrm{d}}x\right)=x^ ...@@ -432,7 +468,7 @@ $$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x{\mathrm{d}}x\right)=x^
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Calculer les primitives suivantes Calculer les primitives suivantes
...@@ -453,7 +489,9 @@ où $f=F'$. Si nous intégrons cette relation on obtient $$\begin{aligned} ...@@ -453,7 +489,9 @@ où $f=F'$. Si nous intégrons cette relation on obtient $$\begin{aligned}
\int_a^b f(g(y))g'(y){\mathrm{d}}y = \int_a^b [F(g(y))]'{\mathrm{d}}y=\left.F(g(y))\right|_a^b=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$ \int_a^b f(g(y))g'(y){\mathrm{d}}y = \int_a^b [F(g(y))]'{\mathrm{d}}y=\left.F(g(y))\right|_a^b=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$
Cette relation nous mène au théorème suivant. Cette relation nous mène au théorème suivant.
#### Théorème (Intégration par changement de variables) {-} ---
Théorème (Intégration par changement de variables) #
Soit $f$ une fonction continue presque partout, et $g$ une fonction dont Soit $f$ une fonction continue presque partout, et $g$ une fonction dont
la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit
...@@ -461,6 +499,8 @@ la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit ...@@ -461,6 +499,8 @@ la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit
Alors Alors
$$\int_a^b f(g(x))g'(x){\mathrm{d}}x = \int_{g(a)}^{g(b)}f(z){\mathrm{d}}z.$$ $$\int_a^b f(g(x))g'(x){\mathrm{d}}x = \int_{g(a)}^{g(b)}f(z){\mathrm{d}}z.$$
---
Nous utilisons ce théorème de la façon suivante. L’idée est de remplacer Nous utilisons ce théorème de la façon suivante. L’idée est de remplacer
la fonction $g(x)$ par $z$. Puis il faut également remplacer la fonction $g(x)$ par $z$. Puis il faut également remplacer
${\mathrm{d}}x$ par ${\mathrm{d}}z$ où nous avons que ${\mathrm{d}}x$ par ${\mathrm{d}}z$ où nous avons que
...@@ -473,11 +513,11 @@ sur la solution. ...@@ -473,11 +513,11 @@ sur la solution.
--- ---
#### Exemple (Changement de variable) {-} Exemple (Changement de variable) #
Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$. Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$.
#### Solution (Changement de variable) {-} Solution (Changement de variable) #
En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$. En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$.
Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On
...@@ -490,7 +530,7 @@ obtient donc $$\begin{aligned} ...@@ -490,7 +530,7 @@ obtient donc $$\begin{aligned}
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Calculer les primitives suivantes par changement de variable Calculer les primitives suivantes par changement de variable
...@@ -521,7 +561,7 @@ Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale, ...@@ -521,7 +561,7 @@ Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale,
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#### Exercice (Commutativité) {-} Exercice (Commutativité) #
Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit
\begin{equation} \begin{equation}
...@@ -538,7 +578,7 @@ ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul ...@@ -538,7 +578,7 @@ ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul
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#### Exercice {-} Exercice #
Calculer la convolution du signal $f(t)$ Calculer la convolution du signal $f(t)$
...@@ -553,7 +593,7 @@ Indication: faites un dessin de ce que représente la convolution de ce $f$ avec ...@@ -553,7 +593,7 @@ Indication: faites un dessin de ce que représente la convolution de ce $f$ avec
--- ---
#### Interprétation avec les mains Interprétation avec les mains
Afin d'interpréter ce que représente le produit de convolution, introduisons la fonction delta de Dirac, $\delta_a(x)$. Cette fonction est un peu particulière, elle vaut zéro partout sauf en $0$ (où elle est "infinie"), et son Afin d'interpréter ce que représente le produit de convolution, introduisons la fonction delta de Dirac, $\delta_a(x)$. Cette fonction est un peu particulière, elle vaut zéro partout sauf en $0$ (où elle est "infinie"), et son
intégrale vaut $1$ intégrale vaut $1$
...@@ -586,21 +626,21 @@ On voit que de façon générale, qu'on peut interpréter la convolution de deux ...@@ -586,21 +626,21 @@ On voit que de façon générale, qu'on peut interpréter la convolution de deux
--- ---
Exercice (Convolution) {-} Exercice (Convolution) #
Calculer la convolution de $f(x)$ avec $g(x)$, où $f(x)$ et $g(x)$ sont les fonctions Calculer la convolution de $f(x)$ avec $g(x)$, où $f(x)$ et $g(x)$ sont les fonctions
\begin{align} \begin{align}
f(x)&=\left\{\begin{array}{ll} f(x)&=\left\{\begin{array}{ll}
$-1,$ & \mbox{ si } -\pi \leq x \leq \pi\\ -1, & \mbox{ si } -\pi \leq x \leq \pi\\
$0,$ & $\mbox{ sinon.}$ 0, & \mbox{ sinon.}
\end{array}\right.,\\ \end{array}\right.,\\
g(x)&=\sin(x). g(x)&=\sin(x).
\end{align} \end{align}
--- ---
#### Le lien avec les filtres Le lien avec les filtres
Il se trouve que dans le cas où le filtre est linéaire (filtrer la combinaison de deux signaux Il se trouve que dans le cas où le filtre est linéaire (filtrer la combinaison de deux signaux
est la même chose que de faire la combinaison linéaires des signaux filtrés) est la même chose que de faire la combinaison linéaires des signaux filtrés)
...@@ -642,7 +682,7 @@ dramatiquement la précision de l’intégration. ...@@ -642,7 +682,7 @@ dramatiquement la précision de l’intégration.
--- ---
#### Remarque {-} Remarque #
De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur
exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre** exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre**
...@@ -652,7 +692,7 @@ de l’erreur. ...@@ -652,7 +692,7 @@ de l’erreur.
--- ---
#### Définition (Ordre d'une méthode) {-} Définition (Ordre d'une méthode) #
On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise
par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une
......
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