Nous utilisons ce théorème de la façon suivante. L’idée est de remplacer
Nous utilisons ce théorème de la façon suivante. L’idée est de remplacer
la fonction $g(x)$ par $z$. Puis il faut également remplacer
la fonction $g(x)$ par $z$. Puis il faut également remplacer
${\mathrm{d}}x$ par ${\mathrm{d}}z$ où nous avons que
${\mathrm{d}}x$ par ${\mathrm{d}}z$ où nous avons que
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@@ -473,11 +513,11 @@ sur la solution.
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@@ -473,11 +513,11 @@ sur la solution.
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#### Exemple (Changement de variable) {-}
Exemple (Changement de variable) #
Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$.
Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$.
#### Solution (Changement de variable) {-}
Solution (Changement de variable) #
En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$.
En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$.
Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On
Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On
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@@ -490,7 +530,7 @@ obtient donc $$\begin{aligned}
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@@ -490,7 +530,7 @@ obtient donc $$\begin{aligned}
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#### Exercice {-}
Exercice #
Calculer les primitives suivantes par changement de variable
Calculer les primitives suivantes par changement de variable
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@@ -521,7 +561,7 @@ Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale,
...
@@ -521,7 +561,7 @@ Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale,
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#### Exercice (Commutativité) {-}
Exercice (Commutativité) #
Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit
Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit
\begin{equation}
\begin{equation}
...
@@ -538,7 +578,7 @@ ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul
...
@@ -538,7 +578,7 @@ ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul
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#### Exercice {-}
Exercice #
Calculer la convolution du signal $f(t)$
Calculer la convolution du signal $f(t)$
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@@ -553,7 +593,7 @@ Indication: faites un dessin de ce que représente la convolution de ce $f$ avec
...
@@ -553,7 +593,7 @@ Indication: faites un dessin de ce que représente la convolution de ce $f$ avec
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#### Interprétation avec les mains
Interprétation avec les mains
Afin d'interpréter ce que représente le produit de convolution, introduisons la fonction delta de Dirac, $\delta_a(x)$. Cette fonction est un peu particulière, elle vaut zéro partout sauf en $0$ (où elle est "infinie"), et son
Afin d'interpréter ce que représente le produit de convolution, introduisons la fonction delta de Dirac, $\delta_a(x)$. Cette fonction est un peu particulière, elle vaut zéro partout sauf en $0$ (où elle est "infinie"), et son
intégrale vaut $1$
intégrale vaut $1$
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@@ -586,21 +626,21 @@ On voit que de façon générale, qu'on peut interpréter la convolution de deux
...
@@ -586,21 +626,21 @@ On voit que de façon générale, qu'on peut interpréter la convolution de deux
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Exercice (Convolution) {-}
Exercice (Convolution) #
Calculer la convolution de $f(x)$ avec $g(x)$, où $f(x)$ et $g(x)$ sont les fonctions
Calculer la convolution de $f(x)$ avec $g(x)$, où $f(x)$ et $g(x)$ sont les fonctions
\begin{align}
\begin{align}
f(x)&=\left\{\begin{array}{ll}
f(x)&=\left\{\begin{array}{ll}
$-1,$ & \mbox{ si } -\pi \leq x \leq \pi\\
-1, & \mbox{ si } -\pi \leq x \leq \pi\\
$0,$ & $\mbox{ sinon.}$
0, & \mbox{ sinon.}
\end{array}\right.,\\
\end{array}\right.,\\
g(x)&=\sin(x).
g(x)&=\sin(x).
\end{align}
\end{align}
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#### Le lien avec les filtres
Le lien avec les filtres
Il se trouve que dans le cas où le filtre est linéaire (filtrer la combinaison de deux signaux
Il se trouve que dans le cas où le filtre est linéaire (filtrer la combinaison de deux signaux
est la même chose que de faire la combinaison linéaires des signaux filtrés)
est la même chose que de faire la combinaison linéaires des signaux filtrés)
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@@ -642,7 +682,7 @@ dramatiquement la précision de l’intégration.
...
@@ -642,7 +682,7 @@ dramatiquement la précision de l’intégration.
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#### Remarque {-}
Remarque #
De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur
De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur
exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre**
exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre**
...
@@ -652,7 +692,7 @@ de l’erreur.
...
@@ -652,7 +692,7 @@ de l’erreur.
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#### Définition (Ordre d'une méthode) {-}
Définition (Ordre d'une méthode) #
On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise
On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise
par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une
par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une