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cours.md

@@ -16,17 +16,16 @@ documentclass: book
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-Rappel
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+# Rappel
 
-Fonctions
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+## Fonctions
 
-Une fonction $f$ de façon générale est un objet qui prend un (ou
-plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associe (associent) un résultat. $$\mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}).$$
+Une fonction $f$ de façon générale est un objet qui prend un (ou plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associe (associent) un résultat
+$$
+\mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}).
+$$
 Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons deux ensembles $A$ et $B$. Supposons qu'à chaque élément $x\in A$ est associé un élément dans $B$ que nous notons par $f(x)$. Alors on dit que $f$ est une fonction ou une application (de $A$ dans $B$). A ce niveau A et B sont arbitraires mais dans la suite nous allons nous intéresser surtout du cas où $A=\subset\real$. Les valeurs de $f$ constituent les *images* de $x$.
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@@ -68,7 +67,6 @@ Pour certaines fonctions, notons les $f(x)$, on peut également définir
 une fonction inverse que l’on note $f^{-1}(x)$ dont la composition donne
 la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
 
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 Exemple (Fonction inverse) +.#
@@ -86,8 +84,8 @@ Exemple (Fonction inverse) +.#
 
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-Domaine de définition
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+## Domaine de définition
+
 
 Définition (Domaine de définition) +.#
 
@@ -107,8 +105,7 @@ Exemple (Domaine de définition) +.#
 
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-Limites
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+## Limites
 
 Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide  et soient $a$ et $b$ deux réels.
 
@@ -221,8 +218,7 @@ $$\log(n)\cong(p-1)\log(10),$$ pour $n$ grand (ce qui est équivalent à
 $p$ grand). On a donc que finalement le rapport $n/\log(n)$ va comme
 $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\rightarrow\infty}\frac{10^{p-1}}{(p-1)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\rightarrow\infty}\frac{10^{p-1}}{p}=\infty.$$
 
-Continuité
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+## Continuité
 
 Définition (Continuité) +.#
 
@@ -255,8 +251,7 @@ Soit $f$ une fonction continue
 sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
 $f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c|f(c)=y.$$
 
-Dérivées
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+## Dérivées
 
 Définition (Dérivée en un point) +.#
 
@@ -337,8 +332,7 @@ admet un extremum en $x_0$ alors $f'(x_0)=0$. De plus si
 $f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un
 maximum ou un minimum de $f$.
 
-Etude de fonction
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+## Etude de fonction
 
 Effectuer l’étude de fonction de la fonction suivante
 $$f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}.$$
@@ -362,11 +356,9 @@ $$f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}.$$
 
 6. Faire un croquis de $f(x)$.
 
-Intégrales
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+# Intégrales
 
-Interprétation géométrique
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+## Interprétation géométrique
 
 Dans ce chapitre nous nous intéressons au calcul d’aires sous une
 fonction $f$. La fonction $f$ satisfait les hypothèses suivantes.
@@ -604,7 +596,6 @@ cas de figures suivants $$\begin{aligned}
  &\int_{-\infty}^b f(x){\mathrm{d}}x=\lim\limits_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^b f(x){\mathrm{d}}x,\\
  &\int_{-\infty}^\infty f(x){\mathrm{d}}x=\lim\limits_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$
 
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 Exemple (Intégrale impropre) +.#
@@ -2531,12 +2522,10 @@ Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
                     1,&\mbox{ si }-t_c<t<t_c\\
                     0,&\mbox{ sinon.}
                    \end{array}\right.$$
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 2. Le pulse asymétrique $$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
                     1,&\mbox{ si } 0<t<2t_c\\
                     0,&\mbox{ sinon.}
                    \end{array}\right.$$
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 3. L’exponentielle décroissante $$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
                     e^{-at},&\mbox{ si } t>0\\
                     0,&\mbox{ sinon.}
@@ -3089,10 +3078,8 @@ Illustration (Moyenne) +.#
 Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par
 $$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$
 
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 On remarque ici que la moyenne des salaires donne une impression erronée
 de la situation car elle est très sensible aux valeurs extrême de la
 distribution. En effet, tous les salaires à l’exception d’un sont