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title: "Graphes - Généralités"
date: "2022-05-03"
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# Questions
* Qu'est-ce qu'un graphe? Un graphe orienté? Un graphe pondéré?
. . .
* Ensemble de sommets et arêtes, avec une direction, possédant une pondération.
* Comment représenter un graphe informatiquement?
. . .
* Liste ou matrice d'adjacence.
* Quels sont les deux parcours que nous avons vus?
. . .
* Parcours en largeur et profondeur.
* Donner l'idée générale des deux parcours.
# Illustration: plus courts chemins
![Illustration de plus court chemin de `s` à `t`.](figs/courts_chemin_intro.pdf)
# Plus courts chemins
## Contexte: les réseaux (informatique, transport, etc.)
* Graphe orienté;
* Source: sommet `s`;
* Destination: sommet `t`;
* Les arêtes ont des poids (coût d'utilisation, distance, etc.);
* Le coût d'un chemin est la somme des poids des arêtes d'un chemin.
## Problème à résoudre
* Quel est le plus court chemin entre `s` et `t`.
# Exemples d'application de plus court chemin
## Devenir riches!
* On part d'un tableau de taux de change entre devises.
* Quelle est la meilleure façon de convertir l'or en dollar?
![Taux de change.](figs/taux_change.pdf){width=80%}
. . .
* 1kg d'or => 327.25 dollars
* 1kg d'or => 208.1 livres => 327 dollars
* 1kg d'or => 455.2 francs => 304.39 euros => 327.28 dollars
# Exemples d'application de plus court chemin
## Formulation sous forme d'un graphe: Comment (3min)?
![Taux de change.](figs/taux_change.pdf){width=80%}
# Exemples d'application de plus court chemin
## Formulation sous forme d'un graphe: Comment (3min)?
![Graphes des taux de change.](figs/taux_change_graphe.pdf){width=60%}
* Un sommet par devise;
* Une arête orientée par transaction possible avec le poids égal au taux de change;
* Trouver le chemin qui maximise le produit des poids.
. . .
## Problème
* On aimerait plutôt avoir une somme...
# Exemples d'application de plus court chemin
## Conversion du problème en plus court chemin
* Soit `taux(u, v)` le taux de change entre la devise `u` et `v`.
* On pose `w(u,w)=-log(taux(u,v))`
* Trouver le chemin poids minimal pour les poids `w`.
![Graphe des taux de change avec logs.](figs/taux_change_graphe_log.pdf){width=60%}
* Cette conversion se base sur l'idée que
$$
\log(u\cdot v)=\log(u)+\log(v).
$$
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