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......@@ -74,7 +74,7 @@ L'orbite d'une planète n'est pas un cercle parfait, il s'agit en réalité d'un
![Exemple (volontairement exagéré) de l'orbite de la terre autour du soleil. Source: Alexis Durgnat (Bureau A403).](./perihelie.svg){#fig:orbite width=50%}
Sur la figure \ref{fig:e}, vous observez différentes orbites pour différentes valeurs de $e$.
Sur la figure @fig:e, vous observez différentes orbites pour différentes valeurs de $e$.
![Différentes orbites en fonction de l'excentricité. Source: Wikipédia, <https://bit.ly/3x53F4A>.](OrbitalEccentricityDemo.svg){#fig:e width=30%}
......@@ -120,26 +120,24 @@ Ensuite, on calcule la nouvelle position à partir de sa position actuelle et de
sa position précédente (on a également vu ça en cours). Pour ce faire, on reprend les équations du mouvement uniformément accéléré on a:
$$
\label{eq:verlet}
\begin{aligned}
\vec{x}_p(t+\Delta t) &= \vec{x}_p(t) + \Delta t\vec{v}_p(t) + \frac{(\Delta t)^2}{2}\vec{a}_p(t)\\
\vec{x}_p(t-\Delta t) &= \vec{x}_p(t) - \Delta t\vec{v}_p(t) + \frac{(\Delta t)^2}{2}\vec{a}_p(t)
\end{aligned}
$$
$${#eq:verlet}
Avec $t$ et $\Delta t$ en [s], $\vec{x}_p(t)$ la position de la planète $p$ en
[m], $\vec{v}_p(t)$ la vitesse de la planète $p$ en [$\frac{m}{s}$] et
$\vec{a}_p(t)$ l'accélération de la planète $p$ en [$\frac{m}{s^2}$].
En additionnant les deux équations de \eqref{eq:verlet}, on obtient :
En additionnant les deux équations de @eq:verlet, on obtient :
$$
\label{eq:mouvement}
\begin{aligned}
\vec{x}_p(t+\Delta t) + \vec{x}_p(t-\Delta t) &= 2\vec{x}_p(t) + (\Delta t)^2\vec{a}_p(t)\\
\vec{x}_p(t+\Delta t) &= 2\vec{x}_p(t) - \vec{x}_p(t-\Delta t) + (\Delta t)^2\vec{a}_p(t)\\
\end{aligned}
$$
$${#eq:mouvement}
On remarque donc qu'il n'est pas nécessaire de retenir l'évolution de
$\vec{v}_p$ pour calculer le prochain état de notre simulation. Nous n'avons
......@@ -150,15 +148,15 @@ $\vec{a}_p(t)$ à partir des formules données (oui cela est un exercice).
## Conditions initiales
Si l'on regarde \eqref{eq:mouvement}, on remarque que pour calculer
Si l'on regarde @eq:mouvement, on remarque que pour calculer
$\vec{x}_p(t + \Delta t)$ en $t=0$ ($\vec{x}_p(\Delta t)$), il nous faudrait la
position $\vec{x}_p(t-\Delta t)$. Comme nous ne considérons pas de temps négatif dans notre simulation, nous allons fixer la valeur en $t=0$ avec la formule \eqref{eq:mouvement}. Ce qui nous donne :
position $\vec{x}_p(t-\Delta t)$. Comme nous ne considérons pas de temps négatif dans notre simulation, nous allons fixer la valeur en $t=0$ avec la formule @eq:mouvement. Ce qui nous donne :
$$
\vec{x}_p(\Delta t) = \vec{x}_p(0) + \Delta t\vec{v}_p(0) + \frac{(\Delta t)^2}{2}\vec{a}_p(0)
$$
Commençons par $\vec{v}_p(0)$. Pour rappel, l'orbite d'une planète est ellipsoïdale. Sans rentrer dans des détails qui dépassent le cadre de ce tp, nous pouvons connaître la vitesse à la périhélie (voir \ref{fig:orbite}) de l'orbite d'une planète autour de notre étoile. La périhélie est la distance la plus courte dans l'orbite d'une planète (autour du soleil, -hélie=soleil). Nous avons donc :
Commençons par $\vec{v}_p(0)$. Pour rappel, l'orbite d'une planète est ellipsoïdale. Sans rentrer dans des détails qui dépassent le cadre de ce tp, nous pouvons connaître la vitesse à la périhélie (voir @fig:orbite) de l'orbite d'une planète autour de notre étoile. La périhélie est la distance la plus courte dans l'orbite d'une planète (autour du soleil, -hélie=soleil). Nous avons donc :
$$
\vec{v}_p(0) =
......
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