ajout erreur interp

cours.md

@@ -1060,7 +1060,7 @@ y[x_i]&=y_i,\\
 \delta^n y[x_{i_0},x_{i_1},\dots,x_{i_n}]&=\frac{\delta^{n-1} y[x_{i_1},\dots,x_{i_{n}}]-\delta^{n-1} y[x_{i_0},\dots,x_{i_{n-1}}]}{x_{i_n}-x_{i_0}}.
 \end{align}
 Avec cette définition, on peut définir le polynôme interpolant 
-passant par les points $(x_i,y_i)$, pour $i=0,..,n$ avec la **formule de Newton** , comme
+passant par les points $(x_i,y_i)$, pour $i=0,..,n$ avec la **formule de Newton**, comme
 \begin{align}
 p_n(x)&=y[x_0]+(x-x_0)\delta y[x_0,x_1]+\dots\nonumber\\
 &\quad+(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})\delta y^n[x_0,\dots,x_n].
@@ -1074,7 +1074,14 @@ Soient les points $(x_i,y_i)$ donnés par $x_0=0$, $x_1=1$, $x_2=-1$, $y_0=0$, $
 
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-## Lien avec les polynômes de Lagrange
+## Erreur de l'interpolation
+
+Nous avons vu dans la section précédente comment écrire un polynôme d'interpolation passant par $n+1$ points, $(x_i,y_i)$. Si nous supposons que 
+$$
+y_i=f(x_i),
+$$
+où $f$ est une fonction dérivable au moins $n$ fois et que
+les points $(x_i,y_i)$ ne sont en fait qu'un échantillonnage de $f(x)$. Nous pouvons nous poser la question de ce que vaudra la différence entre $p_n(x)$ et $f(x)$.
 
 [^1]: On pourrait, de façon similaire, utiliser la formule de différences finies en avant ou en arrière (ou un mélange des deux).
 [^2]: Comme ce polynôme passe par les points $(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$, ..., $(x_m,y_m)$, il est unique, c'est donc exactement le même que celui exprimé avec les $\{a_i\}_{i=0}^m$.