updated vec x -> vec r

02_lois_de_newton.md

@@ -940,7 +940,7 @@ dans le système solaire, ou les gaz de particules. Dans cette section nous allo
 comment.
 
 Pour ce faire, nous allons considérer une particule $P$ en mouvement, qui est caractérisée par une position
-$\vec x(t)$ (qui dépend donc du temps, $t$) et par une masse $m$ constante. Nous souhaitons ici décrire le mouvement
+$\vec r(t)$ (qui dépend donc du temps, $t$) et par une masse $m$ constante. Nous souhaitons ici décrire le mouvement
 de $P$ en fonction du temps, en d'autre termes la valeur de $x(t)$ pour toute valeur de $t$.
 Il existe différents cas de figures, tels que mouvement rectiligne uniforme, ou le mouvement réctiligne uniformément
 accéléré, que vous connaissez qui permettent de résoudre exactement le mouvement de $P$. Ici, nous souhaitons
@@ -960,17 +960,17 @@ $\delta t>0$ étant le pas de discrétisation temporel et $j\in\integer^+$ (voir
 
 ### Le mouvement sans accélération
 
-Supposons que pour notre particule $P$, nous connaissons sa position initiale, $\vec x(0)$ et sa vitesse
-en tout temps, $\vec v(t)$. Nous souhaitons connaître une approximation de la position $\vec x(t_j)$.
-Pour ce faire nous commençons au point $\vec x(0)$ et calculons sa nouvelle position
+Supposons que pour notre particule $P$, nous connaissons sa position initiale, $\vec r(0)$ et sa vitesse
+en tout temps, $\vec v(t)$. Nous souhaitons connaître une approximation de la position $\vec r(t_j)$.
+Pour ce faire nous commençons au point $\vec r(0)$ et calculons sa nouvelle position
 à l'aide de la vitesse $\vec v(0)$
 $$
-\vec x(\delta t)=\vec x(0)+\delta t\cdot \vec v(0).
+\vec r(\delta t)=\vec r(0)+\delta t\cdot \vec v(0).
 $$
 Plus $\delta t$ est petit, plus cette approximation sera précise.
 En utilisant la notation $t_j=j\cdot \delta t$, on obtient
 $$
-\vec x(t_1)=\vec x(t_0)+\delta t\cdot \vec v(t_0).
+\vec r(t_1)=\vec r(t_0)+\delta t\cdot \vec v(t_0).
 $$
 
 ---
@@ -979,35 +979,35 @@ Remarque ($\delta t\rightarrow 0$) #
 
 On peut réécrire l'équation ci-dessus comme
 $$
-\vec v(0)=\frac{\vec x(\delta t)-\vec x(0)}{\delta t}.
+\vec v(0)=\frac{\vec r(\delta t)-\vec r(0)}{\delta t}.
 $$
 En prenant la limite $\delta t\rightarrow 0$, on obtient
 $$
-\vec v(0)=\vec x'(0),
+\vec v(0)=\vec r'(0),
 $$
 Soit la relation bien connue que la dérivée de la position donne la vitesse.
 Ou encore de façon similaire
 $$
-\vec v(t_0)=\vec x'(t_0),
+\vec v(t_0)=\vec r'(t_0),
 $$
 
 ---
 
 Nous pouvons ainsi calculer la position pour $t_2$[^7]
 $$
-\vec x(t_2)=\vec x(t_1)+\delta t\cdot \vec v(t_1),
+\vec r(t_2)=\vec r(t_1)+\delta t\cdot \vec v(t_1),
 $$
 et ainsi de suite pour n'importe quelle valeur de $t_j$
 $$
-\vec x(t_j)=\vec x(t_{j-1})+\delta t\cdot \vec v(t_{j-1}).
+\vec r(t_j)=\vec r(t_{j-1})+\delta t\cdot \vec v(t_{j-1}).
 $$
 De cette équation, nous pouvons également déduire que
 $$
-\vec v(t_{j-1})=\frac{\vec x(t_j)-\vec x(t_{j-1})}{\delta t},
+\vec v(t_{j-1})=\frac{\vec r(t_j)-\vec r(t_{j-1})}{\delta t},
 $${#eq:vt0}
 ou encore 
 $$
-\vec v(t_{j})=\frac{\vec x(t_j+1)-\vec x(t_{j})}{\delta t}.
+\vec v(t_{j})=\frac{\vec r(t_j+1)-\vec r(t_{j})}{\delta t}.
 $${#eq:vt1}
 
 Nous pouvons ainsi approximer le mouvement de la particule $P$
@@ -1025,15 +1025,15 @@ $$
 $$
 En utilisant l'@eq:vt0 et l'@eq:vt1, il vient
 $$
-\vec a(t_j) = \frac{\frac{\vec x(t_j+1)-\vec x(t_{j})}{\delta t}-\frac{\vec x(t_j)-\vec x(t_{j-1})}{\delta t}}{\delta t}=\frac{\vec x(t_{j+1})-2\vec x(t_j)+\vec x(t_{j-1})}{\delta t^2}.
+\vec a(t_j) = \frac{\frac{\vec r(t_j+1)-\vec r(t_{j})}{\delta t}-\frac{\vec r(t_j)-\vec r(t_{j-1})}{\delta t}}{\delta t}=\frac{\vec r(t_{j+1})-2\vec r(t_j)+\vec r(t_{j-1})}{\delta t^2}.
 $$
-En isolant $\vec x(t_{j+1})$ il vient
+En isolant $\vec r(t_{j+1})$ il vient
 $$
-\vec x(t_{j+1})=2\vec x(t_j)-\vec x(t_{j-1})+\vec a(t_j)\delta t^2.
+\vec r(t_{j+1})=2\vec r(t_j)-\vec r(t_{j-1})+\vec a(t_j)\delta t^2.
 $$
 Cette formule est correcte pour $j\geq 1$. Pour $j=0$, on a
 $$
-\vec x(t_{1})=\vec x(t_0)+\delta t\vec v(t_0)+\vec a(t_0)\delta t^2.
+\vec r(t_{1})=\vec r(t_0)+\delta t\vec v(t_0)+\vec a(t_0)\delta t^2.
 $$
 Il est donc nécessaire de connaître la vitesse initiale et la position
 initiale de la particule $P$ pour pouvoir calculer son évolution,