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updated vec x -> vec r

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...@@ -940,7 +940,7 @@ dans le système solaire, ou les gaz de particules. Dans cette section nous allo ...@@ -940,7 +940,7 @@ dans le système solaire, ou les gaz de particules. Dans cette section nous allo
comment. comment.
Pour ce faire, nous allons considérer une particule $P$ en mouvement, qui est caractérisée par une position Pour ce faire, nous allons considérer une particule $P$ en mouvement, qui est caractérisée par une position
$\vec x(t)$ (qui dépend donc du temps, $t$) et par une masse $m$ constante. Nous souhaitons ici décrire le mouvement $\vec r(t)$ (qui dépend donc du temps, $t$) et par une masse $m$ constante. Nous souhaitons ici décrire le mouvement
de $P$ en fonction du temps, en d'autre termes la valeur de $x(t)$ pour toute valeur de $t$. de $P$ en fonction du temps, en d'autre termes la valeur de $x(t)$ pour toute valeur de $t$.
Il existe différents cas de figures, tels que mouvement rectiligne uniforme, ou le mouvement réctiligne uniformément Il existe différents cas de figures, tels que mouvement rectiligne uniforme, ou le mouvement réctiligne uniformément
accéléré, que vous connaissez qui permettent de résoudre exactement le mouvement de $P$. Ici, nous souhaitons accéléré, que vous connaissez qui permettent de résoudre exactement le mouvement de $P$. Ici, nous souhaitons
...@@ -960,17 +960,17 @@ $\delta t>0$ étant le pas de discrétisation temporel et $j\in\integer^+$ (voir ...@@ -960,17 +960,17 @@ $\delta t>0$ étant le pas de discrétisation temporel et $j\in\integer^+$ (voir
### Le mouvement sans accélération ### Le mouvement sans accélération
Supposons que pour notre particule $P$, nous connaissons sa position initiale, $\vec x(0)$ et sa vitesse Supposons que pour notre particule $P$, nous connaissons sa position initiale, $\vec r(0)$ et sa vitesse
en tout temps, $\vec v(t)$. Nous souhaitons connaître une approximation de la position $\vec x(t_j)$. en tout temps, $\vec v(t)$. Nous souhaitons connaître une approximation de la position $\vec r(t_j)$.
Pour ce faire nous commençons au point $\vec x(0)$ et calculons sa nouvelle position Pour ce faire nous commençons au point $\vec r(0)$ et calculons sa nouvelle position
à l'aide de la vitesse $\vec v(0)$ à l'aide de la vitesse $\vec v(0)$
$$ $$
\vec x(\delta t)=\vec x(0)+\delta t\cdot \vec v(0). \vec r(\delta t)=\vec r(0)+\delta t\cdot \vec v(0).
$$ $$
Plus $\delta t$ est petit, plus cette approximation sera précise. Plus $\delta t$ est petit, plus cette approximation sera précise.
En utilisant la notation $t_j=j\cdot \delta t$, on obtient En utilisant la notation $t_j=j\cdot \delta t$, on obtient
$$ $$
\vec x(t_1)=\vec x(t_0)+\delta t\cdot \vec v(t_0). \vec r(t_1)=\vec r(t_0)+\delta t\cdot \vec v(t_0).
$$ $$
--- ---
...@@ -979,35 +979,35 @@ Remarque ($\delta t\rightarrow 0$) # ...@@ -979,35 +979,35 @@ Remarque ($\delta t\rightarrow 0$) #
On peut réécrire l'équation ci-dessus comme On peut réécrire l'équation ci-dessus comme
$$ $$
\vec v(0)=\frac{\vec x(\delta t)-\vec x(0)}{\delta t}. \vec v(0)=\frac{\vec r(\delta t)-\vec r(0)}{\delta t}.
$$ $$
En prenant la limite $\delta t\rightarrow 0$, on obtient En prenant la limite $\delta t\rightarrow 0$, on obtient
$$ $$
\vec v(0)=\vec x'(0), \vec v(0)=\vec r'(0),
$$ $$
Soit la relation bien connue que la dérivée de la position donne la vitesse. Soit la relation bien connue que la dérivée de la position donne la vitesse.
Ou encore de façon similaire Ou encore de façon similaire
$$ $$
\vec v(t_0)=\vec x'(t_0), \vec v(t_0)=\vec r'(t_0),
$$ $$
--- ---
Nous pouvons ainsi calculer la position pour $t_2$[^7] Nous pouvons ainsi calculer la position pour $t_2$[^7]
$$ $$
\vec x(t_2)=\vec x(t_1)+\delta t\cdot \vec v(t_1), \vec r(t_2)=\vec r(t_1)+\delta t\cdot \vec v(t_1),
$$ $$
et ainsi de suite pour n'importe quelle valeur de $t_j$ et ainsi de suite pour n'importe quelle valeur de $t_j$
$$ $$
\vec x(t_j)=\vec x(t_{j-1})+\delta t\cdot \vec v(t_{j-1}). \vec r(t_j)=\vec r(t_{j-1})+\delta t\cdot \vec v(t_{j-1}).
$$ $$
De cette équation, nous pouvons également déduire que De cette équation, nous pouvons également déduire que
$$ $$
\vec v(t_{j-1})=\frac{\vec x(t_j)-\vec x(t_{j-1})}{\delta t}, \vec v(t_{j-1})=\frac{\vec r(t_j)-\vec r(t_{j-1})}{\delta t},
$${#eq:vt0} $${#eq:vt0}
ou encore ou encore
$$ $$
\vec v(t_{j})=\frac{\vec x(t_j+1)-\vec x(t_{j})}{\delta t}. \vec v(t_{j})=\frac{\vec r(t_j+1)-\vec r(t_{j})}{\delta t}.
$${#eq:vt1} $${#eq:vt1}
Nous pouvons ainsi approximer le mouvement de la particule $P$ Nous pouvons ainsi approximer le mouvement de la particule $P$
...@@ -1025,15 +1025,15 @@ $$ ...@@ -1025,15 +1025,15 @@ $$
$$ $$
En utilisant l'@eq:vt0 et l'@eq:vt1, il vient En utilisant l'@eq:vt0 et l'@eq:vt1, il vient
$$ $$
\vec a(t_j) = \frac{\frac{\vec x(t_j+1)-\vec x(t_{j})}{\delta t}-\frac{\vec x(t_j)-\vec x(t_{j-1})}{\delta t}}{\delta t}=\frac{\vec x(t_{j+1})-2\vec x(t_j)+\vec x(t_{j-1})}{\delta t^2}. \vec a(t_j) = \frac{\frac{\vec r(t_j+1)-\vec r(t_{j})}{\delta t}-\frac{\vec r(t_j)-\vec r(t_{j-1})}{\delta t}}{\delta t}=\frac{\vec r(t_{j+1})-2\vec r(t_j)+\vec r(t_{j-1})}{\delta t^2}.
$$ $$
En isolant $\vec x(t_{j+1})$ il vient En isolant $\vec r(t_{j+1})$ il vient
$$ $$
\vec x(t_{j+1})=2\vec x(t_j)-\vec x(t_{j-1})+\vec a(t_j)\delta t^2. \vec r(t_{j+1})=2\vec r(t_j)-\vec r(t_{j-1})+\vec a(t_j)\delta t^2.
$$ $$
Cette formule est correcte pour $j\geq 1$. Pour $j=0$, on a Cette formule est correcte pour $j\geq 1$. Pour $j=0$, on a
$$ $$
\vec x(t_{1})=\vec x(t_0)+\delta t\vec v(t_0)+\vec a(t_0)\delta t^2. \vec r(t_{1})=\vec r(t_0)+\delta t\vec v(t_0)+\vec a(t_0)\delta t^2.
$$ $$
Il est donc nécessaire de connaître la vitesse initiale et la position Il est donc nécessaire de connaître la vitesse initiale et la position
initiale de la particule $P$ pour pouvoir calculer son évolution, initiale de la particule $P$ pour pouvoir calculer son évolution,
......
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