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...@@ -39,7 +39,7 @@ l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère. ...@@ -39,7 +39,7 @@ l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
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#### Illustration {-} Illustration #
1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une 1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une
entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$ entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$
...@@ -96,14 +96,12 @@ et du benchmark de l’application (voir Tabl. @tbl:exec) ...@@ -96,14 +96,12 @@ et du benchmark de l’application (voir Tabl. @tbl:exec)
Sous forme de graphique on peut représenter le tableau des salaires sous Sous forme de graphique on peut représenter le tableau des salaires sous
la forme d’un graphique bâton (voir Fig. @fig:salaires) la forme d’un graphique bâton (voir Fig. @fig:salaires)
![Nombre salariés en fonction du ![Nombre salariés en fonction du salaire.](figs/graph_salaires.svg){#fig:salaires width="50.00000%"}
salaire.](figs/graph_salaires.svg){#fig:salaires width="50.00000%"}
ou d’un histogramme pour le temps d’exécution de l’application (voir ou d’un histogramme pour le temps d’exécution de l’application (voir
Fig. @fig:exec). Fig. @fig:exec).
![Nombre d’exécutions en fonction du temps ![Nombre d’exécutions en fonction du temps d’exécution.](figs/graph_exec.svg){#fig:exec width="50.00000%"}
d’exécution.](figs/graph_exec.svg){#fig:exec width="50.00000%"}
### Fréquences ### Fréquences
...@@ -120,7 +118,7 @@ $$f_i=\frac{n_i}{n}.$$ ...@@ -120,7 +118,7 @@ $$f_i=\frac{n_i}{n}.$$
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#### Exemple (Fréquences) {-} Exemple (Fréquences) #
Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
...@@ -155,7 +153,7 @@ retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives ...@@ -155,7 +153,7 @@ retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
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#### Propriété (Propriétés de la fréquence) {-} Propriété (Propriétés de la fréquence) #
1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$ 1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$
$$0\leq f_i\leq 1.$$ $$0\leq f_i\leq 1.$$
...@@ -190,7 +188,9 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le ...@@ -190,7 +188,9 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
: Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum} : Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum}
#### Exercice (Fréquence cumulée) {-} ---
Exercice (Fréquence cumulée) #
1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples 1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples
que nous avons vus. que nous avons vus.
...@@ -198,6 +198,8 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le ...@@ -198,6 +198,8 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
2. Que pouvons-nous déduire de la forme de la fonction (croissance, 2. Que pouvons-nous déduire de la forme de la fonction (croissance,
valeur maximale)? valeur maximale)?
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### Mesures de tendance centrale ### Mesures de tendance centrale
Jusqu’ici le nombre de valeurs étudiées était limité et il est assez Jusqu’ici le nombre de valeurs étudiées était limité et il est assez
...@@ -214,7 +216,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$ ...@@ -214,7 +216,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
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#### Exercice (Propriétés de la moyenne) {-} Exercice (Propriétés de la moyenne) #
1. Démontrer la relation précédente. 1. Démontrer la relation précédente.
...@@ -224,7 +226,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$ ...@@ -224,7 +226,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
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#### Illustration (Moyenne) {-} Illustration (Moyenne) #
Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par
$$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$ $$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$
...@@ -252,12 +254,16 @@ le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$. ...@@ -252,12 +254,16 @@ le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$.
Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui
reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population. reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population.
#### Exercice (Moyenne, médiane) {-} ---
Exercice (Moyenne, médiane) #
Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution
(prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps (prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps
d’exécution[^7]). d’exécution[^7]).
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### Mesures de dispersion ### Mesures de dispersion
Nous avons vu deux mesures donnant une tendance générale des caractères Nous avons vu deux mesures donnant une tendance générale des caractères
...@@ -282,7 +288,7 @@ $$s=\sqrt{v}.$$ ...@@ -282,7 +288,7 @@ $$s=\sqrt{v}.$$
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#### Exercice (Variance, écart-type) {-} Exercice (Variance, écart-type) #
Démontrer les relations suivantes Démontrer les relations suivantes
...@@ -303,7 +309,7 @@ $$s=\sqrt{v}=121440.$$ ...@@ -303,7 +309,7 @@ $$s=\sqrt{v}=121440.$$
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#### Exercice (Variance, écart-type) {-} Exercice (Variance, écart-type) #
Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark
de l’application. de l’application.
...@@ -331,7 +337,7 @@ semi-inter-quartile. ...@@ -331,7 +337,7 @@ semi-inter-quartile.
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#### Exercice (Semi-inter quartile) {-} Exercice (Semi-inter quartile) #
Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous
avons vus plus tôt dans le cours. avons vus plus tôt dans le cours.
...@@ -351,7 +357,7 @@ sera utile pour la suite. ...@@ -351,7 +357,7 @@ sera utile pour la suite.
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#### Définition {-} Définition #
- L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est - L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du
...@@ -505,7 +511,7 @@ comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants ...@@ -505,7 +511,7 @@ comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants
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#### Définition (Axiomes des probabilités) {-} Définition (Axiomes des probabilités) #
Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de
réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui
...@@ -527,7 +533,7 @@ De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes ...@@ -527,7 +533,7 @@ De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes
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#### Théorème {-} Théorème #
Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité. Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
...@@ -583,7 +589,7 @@ $p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$ ...@@ -583,7 +589,7 @@ $p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$
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#### Exercice (Probabilités conditionnelles) {-} Exercice (Probabilités conditionnelles) #
Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
50 ans et 665 l’âge de 70 ans. 50 ans et 665 l’âge de 70 ans.
...@@ -626,7 +632,7 @@ résultat de celui de la semaine suivante. ...@@ -626,7 +632,7 @@ résultat de celui de la semaine suivante.
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#### Exercice (Événements indépendants) {-} Exercice (Événements indépendants) #
On jette une pièce de monnaie deux fois de On jette une pièce de monnaie deux fois de
suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$. suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$.
...@@ -668,8 +674,7 @@ $$p(A)=\frac{1}{36}.$$ Une autre façon de visualiser ce genre de ...@@ -668,8 +674,7 @@ $$p(A)=\frac{1}{36}.$$ Une autre façon de visualiser ce genre de
réalisation est de l’écrire sous forme d’arbre (voir la figure réalisation est de l’écrire sous forme d’arbre (voir la figure
@fig:arbre). @fig:arbre).
![Représentation du tirage $26$ sous forme ![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre.](figs/arbre.svg){#fig:arbre width="\textwidth"}
d’arbre.](figs/arbre.svg){#fig:arbre width="\textwidth"}
Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est
équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$. équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$.
...@@ -681,8 +686,7 @@ probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements ...@@ -681,8 +686,7 @@ probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements
élémentaires élémentaires
$$p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.$$ $$p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.$$
![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre avec les probabilités ![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre avec les probabilités associées.](figs/arbre2.svg){#fig:arbre2 width="\textwidth"}
associées.](figs/arbre2.svg){#fig:arbre2 width="\textwidth"}
Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le
chemin menant de la racine à la feuille correspondante et de multiplier chemin menant de la racine à la feuille correspondante et de multiplier
...@@ -703,11 +707,7 @@ aussi utiliser la représentation sous forme d’arbre où on somme ...@@ -703,11 +707,7 @@ aussi utiliser la représentation sous forme d’arbre où on somme
simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$ (voir figure simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$ (voir figure
@fig:arbre3). @fig:arbre3).
![Représentation de l’événement $A=\{22,24,26,42,44,46\}$ sous forme ![Représentation de l’événement $A=\{22,24,26,42,44,46\}$ sous forme d’arbre avec les probabilités associées. Toutes les probabilités et tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour simplifier l’affichage.](figs/arbre3.svg){#fig:arbre3 width="\textwidth"}
d’arbre avec les probabilités associées. Toutes les probabilités et
tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour
simplifier
l’affichage.](figs/arbre3.svg){#fig:arbre3 width="\textwidth"}
Comme vu dans la section @sec:disjoints, il suffit de prendre la Comme vu dans la section @sec:disjoints, il suffit de prendre la
somme des probabilités des événements élémentaires $$\begin{aligned} somme des probabilités des événements élémentaires $$\begin{aligned}
...@@ -731,7 +731,7 @@ $1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$ ...@@ -731,7 +731,7 @@ $1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$
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#### Exercice {-} Exercice #
1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux 1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux
nombres tirés par deux dés. nombres tirés par deux dés.
...@@ -803,7 +803,7 @@ $$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$ ...@@ -803,7 +803,7 @@ $$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$
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#### Exercice {-} Exercice #
On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir: On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:
...@@ -832,29 +832,25 @@ Afin de calculer cette probabilité le fait qu’on effectue un tirage avec ...@@ -832,29 +832,25 @@ Afin de calculer cette probabilité le fait qu’on effectue un tirage avec
remise est primordial. En effet considérons le cas initial illustré dans remise est primordial. En effet considérons le cas initial illustré dans
la @fig:loto. la @fig:loto.
![Les six numéros présents initialement dans le ![Les six numéros présents initialement dans le sac.](figs/loto.svg){#fig:loto height="1.8truecm"}
sac.](figs/loto.svg){#fig:loto height="1.8truecm"}
Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure
@fig:loto2). Notons que le tirage du 2 a une probabilité @fig:loto2). Notons que le tirage du 2 a une probabilité
$\frac{1}{6}$. $\frac{1}{6}$.
![Le numéro 2 est tiré lors du premier ![Le numéro 2 est tiré lors du premier tirage.](figs/loto2.svg){#fig:loto2 height="1.8truecm"}
tirage.](figs/loto2.svg){#fig:loto2 height="1.8truecm"}
Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmi Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmi
lesquels choisir (les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la lesquels choisir (les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la
@fig:loto3). @fig:loto3).
![Il ne reste que 5 chiffres dans le ![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac.](figs/loto3.svg){#fig:loto3 height="1.8truecm"}
sac.](figs/loto3.svg){#fig:loto3 height="1.8truecm"}
Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des
nombres restant, disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure nombres restant, disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure
@fig:loto4). @fig:loto4).
![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le ![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le 5.](figs/loto4.svg){#fig:loto4 height="1.8truecm"}
5.](figs/loto4.svg){#fig:loto4 height="1.8truecm"}
Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et
ainsi de suite. ainsi de suite.
...@@ -872,7 +868,7 @@ $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité ...@@ -872,7 +868,7 @@ $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité
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#### Exercice {-} Exercice #
1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50 1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50
possible, puis par le tirage de 2 “étoiles” parmi 11 possibles. possible, puis par le tirage de 2 “étoiles” parmi 11 possibles.
...@@ -1002,7 +998,7 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$. ...@@ -1002,7 +998,7 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$.
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#### Définition (Variable aléatoire) {-} Définition (Variable aléatoire) #
On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une
*variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle, *variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle,
...@@ -1014,7 +1010,7 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$ ...@@ -1014,7 +1010,7 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
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#### Définition (Fonction de répartition) {-} Définition (Fonction de répartition) #
On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une
*fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout *fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout
......
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